Bài giảng 19: Một Tích Vô Hướng cho Không Gian C[a,b]

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Không gian tích vô hướng được sử dụng rộng rãi nhất trong các ứng dụng có lẽ là không gian vector $C[a,b]$ , bao gồm tất cả các hàm liên tục trên một khoảng $a\leq t\leq b$ , với một tích vô hướng sẽ được mô tả dưới đây.

Chúng ta bắt đầu bằng cách xét một đa thức $p$ và một số nguyên n lớn hơn hoặc bằng bậc của $p$ . Khi đó $p$ thuộc không gian $\mathbb{P}_n$ , và ta có thể tính một “độ dài” cho $p$ bằng cách sử dụng tích vô hướng ở ví dụ 2, thông qua việc đánh giá tại $n+1$ điểm trong khoảng $[a,b]$ . Tuy nhiên, độ dài này chỉ phản ánh hành vi của $p$ tại đúng $n+1$ điểm đó. Vì $p$ thuộc $\mathbb{P}_n$ với mọi $n$ đủ lớn, chúng ta có thể sử dụng $n$ lớn hơn nhiều, với nhiều điểm đánh giá hơn cho tích vô hướng kiểu “đánh giá”. Xem hình 4.

HÌNH 4: Sử dụng số lượng điểm đánh giá khác nhau trong khoảng $[a,b]$ để tính $\|p\|^2$ .

Giả sử ta chia đoạn $[a,b]$ thành $n+1$ đoạn con có độ dài $\Delta t=(b-a)(n+1)$ , và chọn các điểm $t_0,t_1,\dots,t_n$ là những điểm tùy ý nằm trong các đoạn con này.

Khi $n$ lớn, tích vô hướng trên $\mathbb{P}_n$ xác định bởi các điểm $t_0,\dots,t_n$ sẽ có xu hướng cho giá trị lớn đối với $\langle p,p\rangle$ , vì vậy ta chuẩn hóa nó bằng cách chia cho $n+1$ . Ta có $1/(n+1)=\Delta t/(b-a)$ và định nghĩa:

$\langle p,q\rangle=\frac{1}{n+1}\sum_{j=0}^n p(t_j)q(t_j)=\frac{1}{b-a}\left[\sum_{j=0}^np(t_j)q(t_j\Delta t\right]$

Bây giờ, để $n$ tiến tới vô cực. Vì các đa thức $p$ và $q$ là các hàm liên tục, biểu thức trong dấu ngoặc vuông ở trên là một tổng Riemann tiến tới một tích phân xác định. Do đó, ta được dẫn đến việc xem xét giá trị trung bình của $p(t)q(t)$ trên đoạn $[a,b]$ :

$\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}p(t)q(t)dt$

Biểu thức này được xác định cho các đa thức bất kỳ bậc nào (thực ra là cho mọi hàm liên tục), và nó thỏa mãn mọi tính chất của một tích vô hướng, như sẽ được minh họa trong ví dụ tiếp theo. Hệ số tỉ lệ $1/(b-a)$ là không thiết yếu và thường được bỏ qua để đơn giản hóa.

Ví dụ 7: Với $f,g\in C[a,b]$ , định nghĩa:

(5) $\begin{equation*}\langle f,g\rangle=\int_a^b f(t)g(t)\,dt\end{equation*}$

Hãy chứng minh rằng biểu thức (5) này xác định một tích vô hướng trên không gian $C[a,b]$ .

Giải: Ba tiên đề đầu tiên của tích vô hướng (tính đối xứng, tuyến tính theo biến thứ nhất, và đồng nhất tuyến tính) đều là hệ quả trực tiếp từ các tính chất cơ bản của tích phân xác định. Đối với tiên đề thứ tư, ta xét:

$\langle f,f\rangle=\int_a^b[f(t)]^2\,dt\geq 0$

Hàm $[f(t)]^2$ là một hàm liên tục và không âm trên đoạn $[a,b]$ . Nếu tích phân xác định này bằng 0, tức là $\int_a^b[f(t)]^2\,dt=0$ thì theo một định lý trong giải tích nâng cao, điều này chỉ xảy ra khi $[f(t)]^2\equiv 0$ trên toàn đoạn $[a,b]$ , tức là $f(t)=0$ với mọi $t\in[a,b]$ . Nói cách khác, $f$ là hàm không (hàm số không). Vậy nên, $\langle f,f\rangle=0$ nếu và chỉ nếu $f\equiv 0$ trên $[a,b]$ . Do đó, biểu thức (5) xác định một tích vô hướng trên không gian $C[a,b]$ .

Ví dụ 8: Cho $V$ là không gian $C[0,1]$ với tích vô hướng của ví dụ 7, và cho $W$ là không gian con sinh ra bởi các đa thức $p_1(t)=1$ , $p_2(t)=2t-1$ , và $p_3(t)=12t^2$ . Sử dụng quy trình Gram-Schmidt để tìm một cơ sở vuông góc cho $W$ .

Giải: Tta đặt $q_1=p_1$ , và tính:

$\langle p_2,q_1\rangle=\int_0^1(2t-1)(1)dt=(t^2-t)=0$

Vậy $p_2$ đã vuông góc với $q_1$ , nên ta có thể lấy $q_2=p_2$ . Tiếp theo, ta tính toán phép chiếu của $p_3$ lên không gian con $W_2=\text{Span}\,\{q_1,q_2\}$ :

$\begin{matrix}\langle p_3,q_1\rangle=&\int_0^1 12t^2\cdot 1\,dt=4t^3\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_0^1=4\\\langle q_1,q_1\rangle=&\int_0^1 1\cdot 1\,dt=t\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_0^1=1\\\langle p_3,q_2\rangle=&\int_0^1 12t^2(2t-1)\,dt=\int_0^1(24t^2-12t)dt=2\\\langle q_2,q_2\rangle=&\int_0^1(2t-1)^2\,dt=\frac{1}{6}(2t-1)^{3}\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_0^1=\frac{1}{3}\\\end{matrix}$

Sau đó, phép chiếu của $p_3$ lên $W_2$ là:

$\text{proj}_{W_2}p_3=\frac{\langle p_3,q_1\rangle}{\langle q_1,q_1\rangle}q_1+\frac{\langle p_3,q_2\rangle}{\langle q_2,q_2\rangle}q_2=\frac{4}{1}q_1+\frac{2}{1/3}q_2=4q_1+6q_2$