Bài giảng 18: Hai Bất Đẳng Thức

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Giả sử là một vectơ trong không gian tích phân và là một không gian con hữu hạn chiều, ta có thể áp dụng Định lý Pythagoras cho phân tích trực giao của theo và thu được:

Xem hình 2.

Cụ thể, điều này chỉ ra rằng chuẩn của phép chiếu của lên không vượt quá chuẩn của chính . Quan sát đơn giản này dẫn đến bất đẳng thức quan trọng sau.

ĐỊNH LÝ 16 Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz

Với mọi  thuộc không gian , ta có:

Chứng minh: Nếu , thì cả hai vế của (4) đều bằng 0, do đó bất đẳng thức đúng trong trường hợp này. Nếu , đặt là không gian con sinh bởi . Nhớ rằng với mọi vô hướng . Do đó:

Vì , ta có , từ đó suy ra (4).

Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz rất hữu ích trong nhiều nhánh của toán học. Một vài ứng dụng đơn giản được trình bày trong phần bài tập. Ở đây, mục đích chính của chúng ta là sử dụng bất đẳng thức này để chứng minh một bất đẳng thức cơ bản khác liên quan đến chuẩn (độ dài) của các vectơ. Xem hình 3.

Định lý 17 Bất đẳng thức tam giác
Với mọi , ta có:

Chứng minh:

Lấy căn hai vế, ta được

Đây chính là bất đẳng thức tam giác.