Bài giảng 2: Độ Dài của Một Vector

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Nếu $\mathbf{v}$ thuộc $\mathbb{R}^n$ với các thành phần $v_1,\dots,v_n$ , thì căn bậc hai của $\mathbf{v\cdot v}$ luôn xác định vì $\mathbf{v\cdot v}$ không âm.

Định nghĩa

Độ dài (hay chuẩn) của  là một số vô hướng không âm, ký hiệu là , được định nghĩa bởi:

 và

Giả sử $\mathbf{v}$ thuộc $\mathbb{R}^2$ , tức là $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ . Nếu ta xem $\mathbf{v}$ như một điểm hình học trong mặt phẳng, thì $\|\mathbf{v}\|$ trùng với độ dài của đoạn thẳng từ gốc tọa độ đến $\mathbf{v}$ . Điều này xuất phát từ định lý Pythagoras khi áp dụng vào một tam giác như trong hình 1.

Hình 1: Diễn giải của $\|\mathbf{v}\|$ như độ dài.

Một phép tính tương tự với đường chéo của một hình hộp chữ nhật trong không gian cho thấy rằng định nghĩa độ dài của một vector $\mathbf{v}$ trong $\mathbb{R}^3$ cũng trùng với khái niệm độ dài thông thường.

Với mọi số vô hướng $c$ , độ dài của $c\mathbf{v}$ bằng $|c|$ lần độ dài của $\mathbf{v}$ , tức là:

$\|c\mathbf{v}\|=|c|\|\mathbf{v}\|$

(Để thấy điều này, ta có thể tính $\|c\mathbf{v}\|^2=(c\mathbf{v})\cdot(c\mathbf{v})=c^2(\mathbf{v\cdot v})=c^2\|\mathbf{v}\|^2$ và sau đó lấy căn bậc hai.)

Một vector có độ dài bằng 1 được gọi là vector đơn vị. Nếu ta chia một vector $\mathbf{v}$ khác 0 cho độ dài của nó – tức là nhân với ${1}/{\|\mathbf{v}\|}$ – ta thu được một vector đơn vị $\mathbf{u}$ vì $\|\mathbf{u}\|=({1}/{\|\mathbf{v}\|})\|\mathbf{v}\|=1$ . Quá trình tạo ra $\mathbf{u}$ từ $\mathbf{v}$ được gọi là chuẩn hóa $\mathbf{v}$ , và ta nói rằng $\mathbf{u}$ cùng hướng với $\mathbf{v}$ .

Một số ví dụ sau đây sử dụng ký hiệu tóm gọn cho (vector cột).

Ví dụ 2: Cho $\mathbf{v}=(1,-2,2,0)$ . Tìm một vector đơn vị $\mathbf{u}$ cùng hướng với $\mathbf{v}$ .

Giải: Trước tiên, tính độ dài của $\mathbf{v}$ :

$\|\mathbf{v}\|^2=\mathbf{v\cdot v}=(1)^2+(-2)^2+(2)^2+(0)^2=9$

$\|\mathbf{v}\|=\sqrt{9}=3$

Sau đó, nhân $\mathbf{v}$ với ${1}/{\|\mathbf{v}\|}$ để thu được

$\mathbf{u}=\frac{1}{\|\mathbf{v}\|}\mathbf{v}=\frac{1}{3}\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\-2\\2\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/3\\-2/3\\2/3\\0\end{bmatrix}$

Để kiểm tra rằng $\|\mathbf{u}\|=1$ , chỉ cần chứng minh rằng $\|\mathbf{u}\|^2=1$ :

$\|\mathbf{u}\|^2=\mathbf{u\cdot u}=\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(-\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2+0^2=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+0=\frac{9}{9}=1$

Ví dụ 3: Cho $W$ là không gian con của $\mathbb{R}^2$ được sinh bởi $\mathbf{x}=\left(\frac{2}{3},1\right)$ . Tìm một vector đơn vị $\mathbf{z}$ làm cơ sở cho $W$ .

Giải: Không gian $W$ bao gồm tất cả các bội của $\mathbf{x}$ , như trong hình 2(a). Bất kỳ vector khác không nào trong $W$ đều có thể làm cơ sở cho $W$ . Để đơn giản hóa tính toán, ta “quy mô” $\mathbf{x}$ để loại bỏ phân số. Nghĩa là, nhân $\mathbf{x}$ với 3 để được

$\mathbf{y}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$

Bây giờ tính độ dài của $\mathbf{y}$

$\,\|\mathbf{y}\|^2=2^2+3^2=13,\,\|\mathbf{y}\|=\sqrt{13}$

Chuẩn hóa $\mathbf{y}$ để tìm $\mathbf{z}$ :

$\mathbf{z}=\frac{1}{\sqrt{13}}\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}/{\sqrt{13}}\\{3}/{\sqrt{13}}\end{bmatrix}$

Xem hình 2(b). Một vector đơn vị khác là $\left(-\frac{2}{\sqrt{13}},-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$ .

Hình 2: Chuẩn hóa một vector để tạo ra một vector đơn vị.

Khoảng cách trong $\mathbb{R}^n$

Chúng ta đã sẵn sàng để mô tả mức độ gần nhau giữa hai vectơ. Nhớ lại rằng nếu $a$ và $b$ là các số thực, thì khoảng cách trên trục số giữa $a$ và $b$ là giá trị $|a-b|$ . Hai ví dụ được minh họa trong hình 3. Định nghĩa khoảng cách trong $\mathbb{R}$ này có một dạng tương tự trực tiếp trong $\mathbb{R}^n$ .

Hình 3: Khoảng cách trong $\mathbb{R}$

Định nghĩa: Với  và  trong , khoảng cách giữa  và , ký hiệu là , được xác định là độ dài của vectơ . Cụ thể:

Trong $\mathbb{R}^2$ và $\mathbb{R}^3$ , định nghĩa này trùng với công thức quen thuộc cho khoảng cách Euclid giữa hai điểm, như hai ví dụ tiếp theo sẽ minh họa.

Ví dụ 4: Tính khoảng cách giữa hai vectơ $\mathbf{u}=(7,1)$ và $\mathbf{v}=(3,2)$ .

Giải: Tính

$\mathbf{u-v}=\begin{bmatrix}7\\1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix}$

$\|\mathbf{u-v}\|=\sqrt{4^2+(-1)^2}=\sqrt{17}$

Các vectơ $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ , và $\mathbf{u-v}$ được minh họa trong Hình 4. Khi vectơ $\mathbf{u-v}$ được cộng với $\mathbf{v}$ , kết quả thu được là $\mathbf{u}$ . Lưu ý rằng hình bình hành trong hình 4 cho thấy khoảng cách từ $\mathbf{u}$ đến $\mathbf{v}$ cũng chính là độ dài của vectơ $\mathbf{u-v}$ .