Bài giảng 7: Phép chiếu trực giao

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Phép chiếu trực giao của một điểm trong $\mathbb{R}^2$ lên một đường thẳng đi qua gốc tọa độ có một tương tự quan trọng trong $\mathbb{R}^n$ . Cho một vectơ $\mathbf{y}$ và một không gian con $W$ trong $\mathbb{R}^n$ , tồn tại một vectơ $\mathbf{\hat{y}}$ trong $W$ sao cho:

$\mathbf{\hat{y}}$ là vectơ duy nhất trong $W$ mà $\mathbf{y}-\mathbf{\hat{y}}$ trực giao với $W$ .
$\mathbf{\hat{y}}$ là vectơ duy nhất trong $W$ gần nhất với $\mathbf{y}$ .

Xem hình 1.

Hai tính chất này của $\mathbf{\hat{y}}$ là chìa khóa để tìm nghiệm bình phương tối thiểu của hệ phương trình tuyến tính.

Để chuẩn bị cho định lý đầu tiên, hãy quan sát rằng bất cứ khi nào một vectơ $\mathbf{y}$ được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ $\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_n$ trong $\mathbb{R}^n$ , ta có thể nhóm các hạng tử trong tổng lại thành hai phần để viết:

$\mathbf{y}=\mathbf{z}_1+\mathbf{z}_2$

trong đó $\mathbf{z}_1$ là tổ hợp tuyến tính của một số $\mathbf{u}_i$ , và $\mathbf{z}_2$ là tổ hợp tuyến tính của các $\mathbf{u}_i$ còn lại. Ý tưởng này đặc biệt hữu ích khi tập $\{\mathbf{u_1,\dots,u}_n\}$ là một cơ sở trực giao. Nhớ lại rằng $W^{\perp}$ ký hiệu tập hợp tất cả các vectơ trực giao với không gian con $W$ .

Ví dụ 1: Cho tập $\{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_5\}$ là một cơ sở trực giao của $\mathbb{R}^5$ và vectơ:

$\mathbf{y}=c_1\mathbf{u}_1+\dots+c_5\mathbf{u}_5$

Xét không gian con $W=\text{Span}\{\mathbf{u_1,u_2}\}$ , hãy phân tích $\mathbf{y}$ thành tổng của một vectơ $\mathbf{z}_1$ trong $W$ và một vectơ $\mathbf{z}_2$ trong $W^\perp$ .

Giải: Viết lại $\mathbf{y}$ dưới dạng:

$\mathbf{y}=c_1\mathbf{u}_1+c_2\mathbf{u}_2+c_3\mathbf{u}_3+c_4\mathbf{u}_4+c_5\mathbf{u}_5$

trong đó: $\mathbf{z}_1=c_1\mathbf{u}_1+c_2\mathbf{u}_2$ thuộc $\text{Span}\{\mathbf{u_1,u_2}\}.$

và $\mathbf{z}_2=c_3\mathbf{u}_3+c_4\mathbf{u}_4+c_5\mathbf{u}_5$ thuộc $\text{Span}\{\mathbf{u_3,u_4,u_5}\}.$

Để chứng minh rằng $\mathbf{z}_2$ thuộc $W^\perp$ , ta cần kiểm tra rằng $\mathbf{z}_2$ trực giao với mọi vectơ trong cơ sở của $W$ , tức là $\mathbf{u}_1$ và $\mathbf{u}_2$ . Sử dụng tính chất của tích trong:

$\begin{matrix}\mathbf{z}_2\cdot\mathbf{u}_1=&(c_3\mathbf{u}_3+c_4\mathbf{u}_4+c_5\mathbf{u}_5)\cdot\mathbf{u}_1\\\qquad=&c_3\mathbf{u}_3\cdot\mathbf{u}_1+c_4\mathbf{u}_4\cdot\mathbf{u}_1+c_5\mathbf{u}_5\cdot\mathbf{u}_1\\\qquad=&0\\\end{matrix}$

do $\mathbf{u}_1$ trực giao với $\mathbf{u_3,u_4,u_5}$ . Tương tự, ta có $\mathbf{z}_2\cdot\mathbf{u}_2=0$ .

Do đó, $\mathbf{z}_2\in W^\perp.$

Định lý 8: Định lý phân tích trực giao

Cho $W$ là một không gian con của $\mathbb{R}^n$ . Khi đó, mỗi vectơ $\mathbf{y}$ trong $\mathbb{R}^n$ có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng:

(1) $\begin{equation*}\mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}+\mathbf{z}\end{equation*}$

trong đó $\hat{\mathbf{y}}$ thuộc $W$ và $\mathbf{z}$ thuộc $W^\perp$ . Thực tế, nếu $\{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p\}$ là một cơ sở trực giao bất kỳ của $W$ , thì:

(2) $\begin{equation*}\hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y\cdot u}_1}{\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1}\mathbf{u}_1+\dots+\frac{\mathbf{y\cdot u}_p}{\mathbf{u}_p\cdot\mathbf{u}_p}\mathbf{u}_p\end{equation*}$

và $\mathbf{z}=\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}$ .

Vectơ $\mathbf{\hat{y}}$ trong công thức trên được gọi là hình chiếu trực giao của $\mathbf{y}$ lên $W$ và thường được ký hiệu là $\text{proj}_W\mathbf{y}$ . Xem hình 2.

HÌNH 2: Phép chiếu trực giao của $\mathbf{y}$ lên $W$ .

Khi $W$ là một không gian con một chiều, công thức của $\mathbf{\hat{y}}$ trùng với công thức hình chiếu trực giao đã được đề cập trong bài trước.

chứng minh: Cho $\{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p\}$ là một cơ sở trực giao bất kỳ của $W$ , và xác định $\mathbf{\hat{y}}$ theo công thức (2). Khi đó, $\mathbf{\hat{y}}$ thuộc $W$ vì nó là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong cơ sở $\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p$ . Gọi $\mathbf{z}=\mathbf{y-\hat{y}}$ . Vì $\mathbf{u}_1$ trực giao với $\mathbf{u}_2,\dots,\mathbf{u}_p$ , suy ra từ (2):

$\mathbf{z\cdot u}_1=(\mathbf{y-\hat{y}})\cdot\mathbf{u}_1=\mathbf{y\cdot u}_1-\left(\frac{\mathbf{y\cdot u}_1}{\mathbf{u_{1}\cdot u_{1}}}\right)\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1-0\cdots-0$

$=\mathbf{y\cdot u}_1-\mathbf{y\cdot u}_1=0$

Do đó, $\mathbf{z}$ trực giao với $\mathbf{u}_1$ . Tương tự, $\mathbf{z}$ trực giao với mỗi uju_j trong cơ sở của $W$ . Vậy $\mathbf{z}$ trực giao với mọi vectơ trong $W$ , tức là $\mathbf{z}\in W^\perp$ .

Để chứng minh rằng phép phân tích trong (1) là duy nhất, giả sử $\mathbf{y}$ cũng có thể được viết dưới dạng $\mathbf{y}=\mathbf{\hat{y}}_1+\mathbf{z}_1$ , trong đó $\mathbf{\hat{y}}_1\in W$ và $\mathbf{z}_1\in W^\perp$ . Khi đó $\hat{\mathbf{y}}+\mathbf{z}=\hat{\mathbf{y}}_1+\mathbf{z_1}$ . Suy ra:

$\hat{\mathbf{y}}-\hat{\mathbf{y_{1}}}=\mathbf{z_{1}}-\mathbf{z}$

Vì $\mathbf{\hat{y}}-\mathbf{\hat{y}}_1$ thuộc $W$ và $\mathbf{z}_1-\mathbf{z}$ thuộc $W^\perp$ , đồng thời $\mathbf{v.v}=0$ , nên $\hat{\mathbf{y}}-\hat{\mathbf{y}}_1=0$ và $\mathbf{z_{1}}-\mathbf{z}=0$ . Do đó, $\hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{y}}_1$ và $\mathbf{z_{1}}=\mathbf{z}$ , chứng minh rằng phép phân tích là duy nhất.

Điều này cũng chỉ ra rằng hình chiếu trực giao $\mathbf{\hat{y}}$ chỉ phụ thuộc vào không gian con $W$ , chứ không phụ thuộc vào cơ sở cụ thể được chọn trong (2).

Ví dụ 2: Cho $\mathbf{u_{1}}=\begin{bmatrix}2\\5\\-1\end{bmatrix}$ , $\mathbf{u_{2}}=\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix}$ , và $\mathbf{y}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$ . Ta thấy rằng tập $\{\mathbf{u_1,u_2}\}$ là một cơ sở trực giao cho không gian con $W=\text{Span}\{\mathbf{u_1,u_2}\}$ . Hãy viết $\mathbf{y}$ dưới dạng tổng của một vector trong $W$ và một vector trực giao với $W$ .

Giải: Phép chiếu trực giao của $\mathbf{y}$ lên $W$ là:

$\hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y\cdot u}_1}{\mathbf{u_1\cdot u_1}}\mathbf{u}_1+\frac{\mathbf{y\cdot u}_2}{\mathbf{u_2\cdot u_2}}\mathbf{u}_2$

$=\frac{9}{30}\begin{bmatrix}2\\5\\-1\end{bmatrix}+\frac{3}{6}\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix}=\frac{9}{30}\begin{bmatrix}2\\5\\-1\end{bmatrix}+\frac{15}{30}\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2/5\\2\\1/5\end{bmatrix}$

ta cũng có

$\mathbf{y}-\mathbf{\hat{y}}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-2/5\\2\\1/5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7/5\\0\\14/5\end{bmatrix}$

Theo định lý 8, $\mathbf{y}-\mathbf{\hat{y}}$ thuộc $W^\perp$ . Để kiểm tra phép tính, ta có thể xác minh rằng $\mathbf{y}-\mathbf{\hat{y}}$ trực giao với cả $\mathbf{u}_1$ và $\mathbf{u}_2$ , do đó nó trực giao với toàn bộ không gian con $W$ . Phân tích mong muốn của $\mathbf{y}$ là:

$\mathbf{y}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2/5\\2\\1/5\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}7/5\\0\\14/5\end{bmatrix}$

Một Cách Giải Thích Hình Học về Phép Chiếu Trực Giao

Khi $W$ là một không gian con một chiều, công thức (2) cho $\text{proj}_W\mathbf{y}$ chỉ chứa một hạng tử duy nhất. Do đó, khi $\dim W>1$ , mỗi hạng tử trong (2) bản thân nó là một phép chiếu trực giao của $\mathbf{y}$ lên một không gian con một chiều được sinh bởi một trong các $\mathbf{u}$ trong cơ sở của $W$ . Hình 3 minh họa điều này khi $W$ là một không gian con của $\mathbb{R}^3$ được sinh bởi $\mathbf{u}_1$ và $\mathbf{u}_2$ . Ở đây, $\mathbf{\hat{y}}_1$ và $\mathbf{\hat{y}}_2$ lần lượt biểu diễn các phép chiếu của $\mathbf{y}$ lên các đường thẳng được sinh bởi $\mathbf{u}_1$ và $\mathbf{u}_2$ . Phép chiếu trực giao $\mathbf{\hat{y}}$ của $\mathbf{y}$ lên $W$ chính là tổng của các phép chiếu của $\mathbf{y}$ lên các không gian con một chiều trực giao với nhau. Vector $\mathbf{\hat{y}}$ trong hình 3 tương ứng với vector $\mathbf{y}$ trong hình 4 của bài trước, vì bây giờ $\mathbf{\hat{y}}$ nằm trong $W$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 7: Phép chiếu trực giao

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy