Bài giảng 16: Không gian tích trong

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Các khái niệm về độ dài, khoảng cách và trực giao thường rất quan trọng trong các ứng dụng liên quan đến không gian vectơ. Đối với $\mathbb{R}^n$ , những khái niệm này dựa trên các tính chất của tích trong đã được liệt kê trong định lý 1.

Đối với các không gian khác, chúng ta cần những phép tương tự của tích trong có cùng các tính chất đó. Khi đó, các kết luận trong định lý 1 sẽ trở thành các tiên đề trong định nghĩa sau đây.

Định nghĩa

Một tích trong trên một không gian vectơ  là một hàm ánh xạ mỗi cặp vectơ  và  trong  tới một số thực , và thỏa mãn các tiên đề sau, với mọi  và mọi vô hướng :
1.	 (đối xứng)
2.	 (tuyến tính theo từng biến)
3.	 (tính chất nhân vô hướng)
4.	, và  khi và chỉ khi  (tích trong dương xác định)

Một không gian vectơ có tích trong được gọi là không gian tích trong.

Không gian vectơ $\mathbb{R}^n$ với tích trong tiêu chuẩn là một ví dụ của không gian tích trong, và hầu hết các nội dung đã học trong chương này đối với $\mathbb{R}^n$ đều có thể mở rộng sang các không gian tích trong. Các ví dụ trong phần này và phần tiếp theo đặt nền móng cho nhiều ứng dụng trong các môn kỹ thuật, vật lý, toán học và thống kê.

Ví dụ 1: Giả sử ta chọn hai số dương bất kỳ – chẳng hạn 4 và 5 – và với các vectơ $\mathbf{u}=(u_1,u_2)$ và $\mathbf{v}=(v_1,v_2)$ trong $\mathbb{R}^2$ , ta định nghĩa:

(1) $\begin{equation*}\langle\mathbf{u,v}\rangle=4u_1v_1+5u_2v_2\end{equation*}$

Hãy chứng minh rằng công thức (1) này xác định một tích trong.

Giải:

Tiên đề 1 (đối xứng):
Rõ ràng $\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=4u_1v_1+5u_2v_2=4v_1u_1+5v_2u_2=\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle$ , nên tiên đề 1 được thỏa mãn.
Tiên đề 2 (tuyến tính theo từng biến):
Giả sử $\mathbf{w}=(w_1,w_2)$ , khi đó:

$\langle\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle=4(u_1+v_1)w_1+5(u_2+v_2)w_2\\=(4u_1w_1+5u_2w_2)+(4v_1w_1+5v_2w_2)=\langle\mathbf{u},\mathbf{w}\rangle+\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle$

Vậy tiên đề 2 được thỏa mãn.

Tiên đề 3 (nhân vô hướng):
Với vô hướng $c$ , ta có:

$\langle c\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=4(cu_1)v_1+5(cu_2)v_2=c(4u_1v_1+5u_2v_2)=c\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle$

Vậy tiên đề 3 được thỏa mãn.

Tiên đề 4 (dương xác định):

$\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle=4u_1^2+5u_2^2\geq 0$

và $\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle=0$ chỉ khi $u_1=u_2=0$ , tức là $\mathbf{u}=\mathbf{0}$ .

Vì tất cả các tiên đề đều được thỏa mãn, nên công thức (1) định nghĩa một tích trong trên $\mathbb{R}^2$ .

Các tích trong tương tự như (1) có thể được định nghĩa trên không gian $\mathbb{R}^n$ . Chúng xuất hiện một cách tự nhiên trong các bài toán “bình phương tối thiểu có trọng số”, trong đó các trọng số được gán cho từng phần tử trong tổng của tích trong sao cho các phép đo đáng tin cậy hơn sẽ được ưu tiên hơn.

Kể từ bây giờ, khi không gian tích trong liên quan đến các đa thức hoặc các hàm khác, chúng ta sẽ viết các hàm theo cách quen thuộc thay vì sử dụng kiểu chữ in đậm cho vectơ. Tuy nhiên, điều quan trọng là phải nhớ rằng mỗi hàm vẫn được xem như một vectơ khi nó được coi là một phần tử của một không gian vectơ.

Ví dụ 2: Cho $t_0,\ldots,t_n$ là các số thực phân biệt. Với $p$ và $q$ thuộc không gian đa thức $\mathbb{P}_n$ , định nghĩa:

(2) $\begin{equation*}\langle p,q\rangle=p(t_0)q(t_0)+p(t_1)q(t_1)+\cdots+p(t_n)q(t_n)\end{equation*}$

Ba tiên đề đầu tiên của tích trong (Axiom 1–3) có thể được kiểm tra dễ dàng. Đối với Tiên đề 4, ta có:

$\langle p,p\rangle=[p(t_0)]^2+[p(t_1)]^2+\cdots+[p(t_n)]^2\geq 0$

Ngoài ra, $\langle\mathbf{0,0}\rangle=0$ . (Chữ in đậm “0” ở đây là đa thức không – tức là vectơ không trong $\mathbb{P}_n$ .) Nếu $\langle p,p\rangle=0$ , thì điều đó có nghĩa là $p$ phải triệt tiêu tại $n+1$ điểm: $t_0,\ldots,t_n$ . Điều này chỉ có thể xảy ra nếu $p$ là đa thức không, vì bậc của $p$ nhỏ hơn $n+1$ . Do đó, công thức (2) định nghĩa một tích trong trên không gian $\mathbb{P}_n$ .

Ví dụ 3: Cho $V=\mathbb{P}_2$ , với tích trong lấy từ ví dụ 2, trong đó $t_0=0,\,t_1=\frac{1}{2}$ và $t_2=1$ . Cho $p(t)=12t^2$ và $q(t)=2t-1$ . Tính $\langle p,q\rangle$ và $\langle q,q\rangle$ .

Giải:

$\begin{matrix}\langle p,q\rangle=&p(0)q(0)+p(-1)q(-1)+p(1)q(1)\\&=(0)(-1)+(12)(0)+(12)(1)=12\\\langle q,q\rangle=&[q(0)]^2+[q(-1)]^2+[q(1)]^2\\&=(-1)^2+(0)^2+(1)^2=2\\\end{matrix}$

Độ dài, Khoảng cách và Tính trực giao

Giả sử $V$ là một không gian tích vô hướng, với tích vô hướng ký hiệu là $\langle\mathbf{u,v}\rangle$ . Tương tự như trong $\mathbb{R}^n$ , ta định nghĩa độ dài, hay chuẩn, của một vectơ $\mathbf{v}$ là:

$\|\mathbf{v}\|=\sqrt{\langle\mathbf{v,v}\rangle}$

Tương đương, ta có $|\mathbf{v}|^2=\langle\mathbf{v,v}\rangle$ . (Định nghĩa này hợp lý vì $\langle\mathbf{v,v}\rangle\geq 0$ , tuy nhiên nó không nhất thiết phải là “tổng bình phương” vì $\mathbf{v}$ không cần phải thuộc $\mathbb{R}^n$ .)

Một vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1. Khoảng cách giữa hai vectơ $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là $|\mathbf{u-v}|$ . Hai vectơ $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ được gọi là trực giao nếu $\langle\mathbf{u,v}\rangle=0$ .