Bài giảng 3: Các Véc-tơ Trực Giao

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Phần còn lại của chương này dựa trên thực tế rằng khái niệm về các đường thẳng vuông góc trong hình học Euclid thông thường có một tương đương trong $\mathbb{R}^n$ .

Xét $\mathbb{R}^2$ hoặc $\mathbb{R}^3$ với hai đường thẳng đi qua gốc tọa độ được xác định bởi các véc-tơ $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ . Hai đường thẳng được hiển thị trong hình 5 là vuông góc về mặt hình học nếu và chỉ nếu khoảng cách từ $\mathbf{u}$ đến $\mathbf{v}$ bằng với khoảng cách từ $\mathbf{u}$ đến $-\mathbf{v}$ . Điều này tương đương với yêu cầu bình phương của các khoảng cách bằng nhau.

Ta có:

$\begin{matrix}[\text{dist}(\mathbf{u,-v})]^2=&\|\mathbf{u-(-v)}\|^2=\|\mathbf{u+v}\|^2\\\quad=&\mathbf{(u+v)\cdot(u+v)}\\\quad=&\mathbf{u\cdot(u+v)+v\cdot(u+v)}\\\quad=&\mathbf{u\cdot u+u\cdot v+v\cdot u+v\cdot v}\\\quad=&\|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2+2\mathbf{u\cdot v}\\\end{matrix}$

Tương tự, với việc hoán đổi $\mathbf{v}$ và $-\mathbf{v}$ , ta có:

$[\text{dist}(\mathbf{u,v})]^2=\|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{-v}\|^2+2\mathbf{u\cdot(-v)}=\|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2-2\mathbf{u\cdot v}$

Hai bình phương khoảng cách bằng nhau nếu và chỉ nếu $2\mathbf{u\cdot v}=-2\mathbf{u\cdot v}$ , $\Rightarrow\mathbf{u\cdot v}=0$ .

Tính toán trên cho thấy rằng khi các véc-tơ $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ được xem như các điểm hình học, thì các đường thẳng tương ứng đi qua các điểm này và gốc tọa độ sẽ vuông góc nếu và chỉ nếu $\mathbf{u\cdot v}=0$ . Định nghĩa sau đây tổng quát hóa khái niệm vuông góc (hay còn gọi là trực giao) này trong $\mathbb{R}^n$ .

Định Nghĩa  Hai véc-tơ  và  trong  được gọi là trực giao với nhau nếu .

Lưu ý rằng véc-tơ không trực giao với mọi véc-tơ trong $\mathbb{R}^n$ , vì $0^T\mathbf{v}=0$ với mọi $\mathbf{v}$ .

Định lý sau đây cung cấp một tính chất hữu ích về các véc-tơ trực giao. Chứng minh của nó có thể suy ra ngay từ phép tính trong (1) và định nghĩa về tính trực giao. Tam giác vuông được hiển thị trong hình 6 minh họa trực quan về độ dài xuất hiện trong định lý này.

Định lý 2 (Định lý Pythagoras)

Hai véc-tơ  và  là trực giao nếu và chỉ nếu:

Bổ sung trực giao

Để thực hành việc sử dụng tích trong, chúng ta giới thiệu một khái niệm sẽ hữu ích và các phần khác của chương. Nếu một véc-tơ $\mathbf{z}$ trực giao với mọi véc-tơ trong một không gian con $W$ của $\mathbb{R}^n$ , thì ta nói rằng $\mathbf{z}$ trực giao với $W$ . Tập hợp tất cả các véc-tơ $\mathbf{z}$ trực giao với $W$ được gọi là bổ sung trực giao của $W$ , ký hiệu là $W^\perp$ (đọc là “ $W$ vuông góc” hoặc đơn giản là “ $W$ perp”).

Ví dụ 6: Gọi $W$ là một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ trong $\mathbb{R}^3$ , và $L$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với $W$ . Nếu $\mathbf{z}$ và $\mathbf{w}$ là các véc-tơ khác không, với $\mathbf{z}$ nằm trên $L$ và $\mathbf{w}$ nằm trong $W$ , thì đoạn thẳng từ 0 đến $\mathbf{z}$ sẽ vuông góc với đoạn thẳng từ 0 đến $\mathbf{w}$ , tức là $\mathbf{z\cdot w}=0$ . Xem hình 7.

Hình 7: Một mặt phẳng và một đường thẳng đi qua 0 như các bổ sung trực giao.

Do đó, mọi véc-tơ trên $L$ đều trực giao với mọi véc-tơ $\mathbf{w}$ trong $W$ . Thực tế, tập hợp $L$ chứa tất cả các véc-tơ trực giao với mọi véc-tơ trong $W$ , và $W$ chứa tất cả các véc-tơ trực giao với mọi véc-tơ trong $L$ . Điều này có nghĩa là:

$L=W^\perp,\quad\quad W=L^\perp$

Hai kết quả quan trọng về bổ sung trực giao $W^\perp$ (với $W$ là không gian con của $\mathbb{R}^n$ ) sẽ được sử dụng trong các phần sau.

1.	Một véc-tơ  thuộc  khi và chỉ khi  trực giao với mọi véc-tơ trong một tập sinh ra .
2.	 là một không gian con của .

**HÌNH 8**: Các không gian con cơ bản được xác định bởi ma trận $m\times n$ $A$ .

Chú thích: Một cách phổ biến để chứng minh hai tập hợp, giả sử $S$ và $T$ , bằng nhau là chứng minh rằng $S$ là tập con của $T$ và $T$ là tập con của $S$ . Bằng chứng của định lý tiếp theo rằng $\text{Nul}\,A=(\text{Row}\,A)^\perp$ được thiết lập bằng cách chứng minh rằng $\text{Nul}\,A$ là tập con của $(\text{Row}A)^\perp$ và $(\text{Row}A)^\perp$ là tập con của $\text{Nul}\,A$ . Cụ thể, một phần tử tùy ý $\mathbf{x}$ trong $\text{Nul}\,A$ được chứng minh là thuộc $(\text{Row}A)^\perp$ , và sau đó một phần tử tùy ý $\mathbf{x}$ trong $(\text{Row}A)^\perp$ được chứng minh là thuộc $\text{Nul}\,A$ .

Định lý 3

Cho  là một ma trận . Khi đó, trực giao bổ sung của không gian hàng của  là không gian null của , và trực giao bổ sung của không gian cột của  là không gian null của :

Chứng minh: Quy tắc nhân hàng – cột khi tính $A\mathbf{x}$ cho thấy rằng nếu $\mathbf{x}$ thuộc $\text{Nul}\,A$ , thì $\mathbf{x}$ trực giao với từng hàng của $A$ (xem các hàng như các vector trong $\mathbb{R}^n$ ). Vì các hàng của $A$ tạo thành một hệ sinh của không gian hàng, $\mathbf{x}$ trực giao với toàn bộ không gian hàng của $A$ . Ngược lại, nếu $\mathbf{x}$ trực giao với không gian hàng của $A$ , thì nó cũng trực giao với từng hàng của $A$ , do đó $A\mathbf{x}=0$ . Điều này chứng minh phát biểu đầu tiên của định lý. Vì phát biểu này đúng với mọi ma trận, nên nó cũng đúng với $A^T$ . Điều này có nghĩa là trực giao bổ sung của không gian hàng của $A^T$ chính là không gian null của $A^T$ . Do $\text{Row}\,A^T=\text{Col}\,A$ , ta suy ra $(\text{Col}\,A)^\perp=\text{Nul}\,A^T$ , chứng minh phát biểu thứ hai của định lý.

Góc trong $\mathbb{R}^2$ và $\mathbb{R}^3$ (Tùy chọn)

Nếu $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là các vector khác không trong $\mathbb{R}^2$ hoặc $\mathbb{R}^3$ , thì có một mối liên hệ thú vị giữa tích trong của chúng và góc θ\theta giữa hai đoạn thẳng từ gốc tọa độ đến các điểm tương ứng với $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ . Công thức được cho bởi:

(2) $\begin{equation*}\mathbf{u\cdot v}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\,\vartheta\end{equation*}$

Để xác minh công thức này cho các vector trong $\mathbb{R}^2$ , hãy xét tam giác được minh họa trong hình 9, với các cạnh có độ dài $\|\mathbf{u}\|,\|\mathbf{v}\|$ và $\|\mathbf{u-v}\|$ .

Theo định luật cos, ta có:

$\|\mathbf{u-v}\|^2=\|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2-2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\vartheta$

Sắp xếp lại, ta thu được:

$\begin{matrix}\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\text{cos}\,\vartheta=&\frac{1}{2}[\|\mathbf{u}\|^{2}+\|\mathbf{v}\|^{2}-\|\mathbf{u-v}\|^{2}]\\\quad=&\frac{1}{2}[u_1^2+u_2^2+v_1^2+v_2^2-(u_1-v_1)^2-(u_2-v_2)^2]\\\quad=&u_1 v_1+u_2 v_2\\\quad=&\mathbf{u\cdot v}\\\end{matrix}$

Việc xác minh đối với $\mathbb{R}^3$ cũng tương tự. Khi $n>3$ , công thức (2) có thể được sử dụng để định nghĩa góc giữa hai vector trong $\mathbb{R}^n$ . Trong thống kê, giá trị $\cos\vartheta$ được định nghĩa theo công thức (2) cho các vector $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ phù hợp chính là hệ số tương quan mà các nhà thống kê sử dụng.

Bổ sung trực giao

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 3: Các Véc-tơ Trực Giao

Lesson Attachments

Bổ sung trực giao

Để lại một bình luận Hủy