Bài giảng 10: Cơ Sở Trực Chuẩn, Phân Tích QR Của Ma Trận

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Cơ Sở Trực Chuẩn

Một cơ sở trực chuẩn có thể được xây dựng dễ dàng từ một cơ sở trực giao ${\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p}$ : chỉ cần chuẩn hóa (tức là “chuẩn tỉ lệ”) tất cả các $\mathbf{v}_k$ . Khi thực hiện tính toán bằng tay, cách này dễ hơn so với việc chuẩn hóa từng $\mathbf{v}_k$ ngay khi tìm được (vì tránh phải viết căn bậc hai không cần thiết).

Ví dụ 3: Ví dụ 1 đã xây dựng cơ sở trực giao.

$\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}3\\6\\0\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}0\\0\\2\end{bmatrix}$

Một cơ sở trực chuẩn là

$\begin{matrix}\mathbf{u}_1=&\frac{1}{\|\mathbf{v}_1\|}\mathbf{v}_1=&\frac{1}{\sqrt{45}}\begin{bmatrix}3\\6\\0\end{bmatrix}=&\begin{bmatrix}1/\sqrt{5}\\2/\sqrt{5}\\0\end{bmatrix}\\\mathbf{u}_2=&\frac{1}{\|\mathbf{v}_2\|}\mathbf{v}_2=&\begin{bmatrix}0\\0\\2\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

Phân Tích QR Của Ma Trận

Nếu một ma trận $A$ kích thước $m\times n$ có các cột độc lập tuyến tính $\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n$ , thì áp dụng quá trình Gram–Schmidt (có chuẩn hóa) cho $\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n$ tương đương với việc phân tích $A$ , như được mô tả trong định lý tiếp theo. Phân tích này được sử dụng rộng rãi trong các thuật toán máy tính để thực hiện nhiều phép tính khác nhau, chẳng hạn như giải hệ phương trình và tìm giá trị riêng.

Định Lý 12 Phân Tích QR

Nếu  là ma trận  với các cột độc lập tuyến tính, thì  có thể được phân tích dưới dạng , trong đó:
•	 là ma trận  có các cột tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho ,
•	 là ma trận vuông , tam giác trên, khả nghịch, với các phần tử đường chéo dương.

Chứng minh: Các cột của $A$ tạo thành một cơ sở $\{\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n\}$ cho $\text{Col}\,(A)$ . Ta xây dựng một cơ sở trực chuẩn $\{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_n\}$ cho $W=\text{Col}\,(A)$ theo định lý 11, có thể sử dụng quá trình Gram–Schmidt hoặc phương pháp khác. Đặt

$Q=[\mathbf{u}_1\quad\mathbf{u}_2\quad\dots\quad\mathbf{u}_n]$

Với mỗi $k=1,\dots,n$ , ta có $\mathbf{x}_k\in\text{Span}\,\{\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_k\}=\text{Span}\,\{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_k\}$ . Do đó, tồn tại các hằng số $\mathbf{r}_{1k},\dots,\mathbf{r}_{kk}$ sao cho

$\mathbf{x}_k=r_{1k}\mathbf{u}_1+\dots+r_{kk}\mathbf{u}_k+0\mathbf{u}_{k+1}+\dots+0\mathbf{u}_n$

Ta có thể giả sử rằng $\mathbf{r}_{kk}\geq 0$ . (Nếu $\mathbf{r}_{kk}<0$ , ta nhân cả $\mathbf{r}_{kk}$ và $\mathbf{u}_{k}$ với $1$ ). Điều này cho thấy $\mathbf{x}_{k}$ là một tổ hợp tuyến tính của các cột của $Q$ , với các hệ số là phần tử của vector

$\mathbf{r}_k=\begin{bmatrix}r_{1k}\\\vdots\\r_{kk}\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}$

Tức là, $\mathbf{x}_k=Q\mathbf{r}_k$ với $k=1,\dots,n$ . Đặt $R=[\mathbf{r}_1\quad\dots\quad\mathbf{r}_n]$ . Khi đó,

$A=[\mathbf{x}_1\quad\dots\quad\mathbf{x}_n]=[Q\mathbf{r}_1\quad\dots\quad Q\mathbf{r}_n]=QR$

Ma trận $R$ là khả nghịch do các cột của $A$ độc lập tuyến tính. Vì $R$ rõ ràng là tam giác trên, nên các phần tử đường chéo của nó phải dương.

Ví dụ 4: Tìm phân tích QR của

$A=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\1&1&1\\\end{bmatrix}$

Giải: Các cột của $A$ chính là các vector $x_1,x_2$ và $x_3$ từ ví dụ 2. Một cơ sở trực giao cho $\text{Col}\,(A)=\text{Span}\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3\}$ đã được tìm thấy trong ví dụ đó:

$\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\\\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-3\\1\\1\\1\\\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}0\\-2/3\\1/3\\1/3\\\end{bmatrix}$

Để đơn giản hóa các phép tính số học sau này, ta nhân $\mathbf{v}_3$ với 3 để có $\mathbf{v}_3'=3\mathbf{v}_3$ . Sau đó, ta chuẩn hóa ba vector này để thu được $\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2$ và $\mathbf{u}_3$ , rồi sử dụng chúng làm các cột của ma trận $Q$ :

$Q=\begin{bmatrix}1/2&-3/\sqrt{12}&0\\1/2&1/\sqrt{12}&-2/\sqrt{6}\\1/2&1/\sqrt{12}&1/\sqrt{6}\\1/2&1/\sqrt{12}&1/\sqrt{6}\\\end{bmatrix}$

Theo chứng minh của định lý 12, $A=QR$ với một ma trận $R$ . Để tìm $R$ , ta sử dụng thực tế rằng $Q^T Q=I$ (do các cột của $Q$ trực chuẩn). Do đó:

$Q^T A=Q^T(QR)=I R=R$

và

$\begin{matrix}R=&\begin{bmatrix}1/2&1/2&1/2&1/2\\-3/\sqrt{12}&1/\sqrt{12}&1/\sqrt{12}&1/\sqrt{12}\\0&-2/\sqrt{6}&1/\sqrt{6}&1/\sqrt{6}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\1&1&1\\\end{bmatrix}\\\quad=&\begin{bmatrix}2&3/2&1\\0&3/\sqrt{12}&2/\sqrt{12}\\0&0&2/\sqrt{6}\\\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

Ghi chú số học

Khi thuật toán Gram–Schmidt được thực hiện trên máy tính, lỗi làm tròn có thể tích lũy dần khi các vector $\mathbf{u}_k$ được tính toán từng bước một. Đối với các giá trị $j$ và $k$ lớn nhưng khác nhau, tích trong $\mathbf{u}_j^T\mathbf{u}_k$ có thể không đủ nhỏ để đảm bảo tính trực giao. Việc mất tính trực giao này có thể giảm đáng kể bằng cách sắp xếp lại thứ tự các phép tính. Tuy nhiên, trong thực tế, một phương pháp phân tích QR khác trên máy tính thường được ưa chuộng hơn so với phương pháp Gram–Schmidt đã được sửa đổi, vì nó tạo ra một cơ sở trực chuẩn chính xác hơn, mặc dù quá trình phân tích này cần gấp đôi số phép toán.
Để thực hiện phân tích QR của một ma trận $A$ , một chương trình máy tính thường nhân bên trái $A$ với một dãy các ma trận trực giao cho đến khi $A$ được biến đổi thành một ma trận tam giác trên. Cách tiếp cận này tương tự như phép nhân bên trái bởi các ma trận sơ cấp để tạo ra phân tích LU của $A$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 10: Cơ Sở Trực Chuẩn, Phân Tích QR Của Ma Trận

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy