Bài giảng 22: Chuỗi Fourier

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Các hàm liên tục thường được xấp xỉ bằng tổ hợp tuyến tính của các hàm sin và cosin. Ví dụ, một hàm liên tục có thể biểu diễn sóng âm, tín hiệu điện nào đó, hoặc chuyển động của một hệ cơ học dao động.

Để đơn giản, ta xét các hàm trên khoảng $0\leq t\leq 2\pi$ . Thực tế cho thấy, bất kỳ hàm nào trong không gian $C[0,2\pi]$ đều có thể được xấp xỉ gần đúng tùy ý bằng một hàm có dạng:

(4) $\begin{equation*}\frac{a_0}{2}+a_1\cos t+\cdots+a_n\cos nt+b_1\sin t+\cdots+b_n\sin nt\end{equation*}$

với một giá trị $n$ đủ lớn. Hàm trên (4) được gọi là đa thức lượng giác. Nếu $a_n$ và $b_n$ không đồng thời bằng 0, đa thức này được gọi là bậc $n$ . Mối liên hệ giữa các đa thức lượng giác và các hàm khác trong $C[0,2\pi]$ phụ thuộc vào thực tế rằng, với bất kỳ $n\geq 1$ , tập hợp:

$\begin{eqution}\{1,\cos t,\cos 2t,\ldots,\cos nt,\sin t,\sin 2t,\ldots,\sin nt\}\tag{5}\end{eqution}$

là trực giao với nhau theo tích vô hướng sau:

$\begin{eqution}\langle f,g\rangle=\int_0^{2\pi}f(t)g(t)\,dt\tag{6}\end{eqution}$

Ví dụ 3: Cho không gian $C[0,2\pi]$ với tích vô hướng được định nghĩa theo công thức (6), và cho $m$ và $n$ là hai số nguyên dương khác nhau. Chứng minh rằng các hàm $\cos\,(mt)$ và $\cos\,(nt)$ là trực giao.

Giải: Ta dùng một đồng nhất thức lượng giác. Khi $m\ne n$ :

$\begin{matrix}\langle\cos(mt),\cos(nt)\rangle=&\int_0^{2\pi}\cos(mt)\cos(nt)\,dt\\\\=&\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left[\cos(mt+nt)+\cos(mt-nt)\right]\,dt\\\\=&\frac{1}{2}\left[\frac{sin(mt+nt)}{m+n}+\frac{sin(mt-nt)}{m-n}\right]\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_0^{2\pi}=0\\\end{matrix}$

Gọi $W$ là không gian con của $C[0,2\pi]$ được sinh bởi các hàm trong tập (5). Với mỗi hàm $f\in C[0,2\pi]$ , xấp xỉ tốt nhất của $f$ bằng các hàm trong $W$ được gọi là xấp xỉ Fourier bậc $n$ trên đoạn $[0,2\pi]$ . Vì các hàm trong (5) là trực giao, xấp xỉ tốt nhất chính là hình chiếu trực giao của $f$ lên không gian $W$ . Trong trường hợp này, các hệ số $a_k$ và $b_k$ trong công thức (4) được gọi là các hệ số Fourier của $f$ . Theo công thức chiếu trực giao:

$a_k=\frac{\langle f,\cos(kt)\rangle}{\langle\cos(kt),\cos(kt)\rangle},\quad b_k=\frac{\langle f,\sin(kt)\rangle}{\langle\sin(kt),\sin(kt)\rangle},\quad k\geq 1$

Do $\langle\cos(kt),\cos(kt)\rangle=\pi$ và $\langle\sin(kt),\sin(kt)\rangle=\pi$ . Do đó

(7) $\begin{equation*}a_k=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\cos(kt)\,dt,\quad b_k=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\sin(kt)\,dt\end{equation*}$

Hệ số của hàm hằng 1 trong phép chiếu trực giao là

$\frac{\langle f,1\rangle}{\langle 1,1\rangle}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\cdot 1\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\cos(0\cdot t)\,dt=\frac{a_0}{2}$

trong đó $a_0$ được xác định bởi công thức (7) với $k=0$ . Điều này giải thích vì sao hạng tử hằng trong biểu thức (4) được viết là $a_0/2$ .

Ví dụ 4: Tìm xấp xỉ Fourier bậc $n$ cho hàm $f(t)=t$ trên khoảng $[0,2\pi]$ .

Giải: Tính:

$\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}t\,dt=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2}t^2\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_0^{2\pi}\right]=\pi$

Với $k>0$ , dùng phương pháp tích phân từng phần:

$\begin{matrix}a_k=&\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}t\cos(kt)\,dt=\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{k^{2}}\cos(kt)+\frac{t}{k}\sin(kt)\right]_0^{2\pi}=0\\\\b_k=&\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}t\sin(kt)\,dt=\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{k^{2}}\sin(kt)-\frac{t}{k}\cos(kt)\right]_0^{2\pi}=-\frac{2}{k}\\\end{matrix}$

Vậy xấp xỉ Fourier bậc $n$ của $f(t)=t$ là:

$\pi-2\sin(t)-\sin(2t)-\frac{2}{3}\sin(3t)-\cdots-\frac{2}{n}\sin(nt)$

Hình 3 minh họa các xấp xỉ Fourier bậc 3 và bậc 4 của $f(t)=t$ .

HÌNH 3: Sự xấp xỉ Fourier của hàm $f(t)=t$ .

Chuẩn của hiệu giữa hàm $f$ và một xấp xỉ Fourier được gọi là sai số bình phương trung bình trong phép xấp xỉ. Có thể chứng minh rằng sai số bình phương trung bình này tiến dần về 0 khi bậc của xấp xỉ Fourier tăng lên. Vì lý do đó, người ta thường viết:

$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}\left(a_m\cos(mt)+b_m\sin(mt)\right)$

Biểu thức này được gọi là chuỗi Fourier của $f$ trên đoạn $[0,2\pi]$ . Ví dụ, hạng tử $a_m\cos(mt)$ chính là phép chiếu của hàm $f$ lên không gian con một chiều được sinh bởi $\cos\,(mt)$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 22: Chuỗi Fourier

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy