Bài giảng 4: Tập hợp trực giao

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Tập hợp các vectơ $\{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p\}$ trong $\mathbb{R}^n$ được gọi là một tập trực giao nếu mỗi cặp vectơ phân biệt trong tập hợp này là trực giao, tức là nếu

Ví dụ 1: Chứng minh rằng tập hợp $\{\mathbf{u_1,u_2,u_3}\}$ là một tập trực giao, trong đó:

$\mathbf{u}_1=\begin{bmatrix}3\\1\\1\end{bmatrix},\quad\mathbf{u}_2=\begin{bmatrix}-1\\2\\1\end{bmatrix},\quad\mathbf{u}_3=\begin{bmatrix}-1/2\\-2\\7/2\end{bmatrix}$

Giải: Xét ba cặp vectơ phân biệt ${\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2}$ , ${\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_3}$ , và ${\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3}$ :

$\begin{matrix}\mathbf{\mathbf{u_{1}\cdot u_{2}}}=&3(-1)+1(2)+1(1)=0\\\\\mathbf{\mathbf{u_{1}\cdot u_{3}}}=&3(-\frac{1}{2})+1(-2)+1(\frac{7}{2})=0\\\\\mathbf{\mathbf{u_{2}\cdot u_{3}}}=&-1(-\frac{1}{2})+2(-2)+1(\frac{7}{2})=0\\\end{matrix}$

Mỗi cặp vectơ đều trực giao, do đó tập $\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\}$ là một tập trực giao. Trong hình 1, ba đoạn thẳng này vuông góc với nhau trong không gian.

Định lý 4

Nếu  là một tập hợp trực giao gồm các vectơ khác không trong , thì  là một tập hợp độc lập tuyến tính, do đó nó tạo thành một cơ sở cho không gian con được sinh bởi .

Chứng minh: Nếu $0=c_1\mathbf{u}_1+\dots+c_p\mathbf{u}_p$ với một số vô hướng $c_1,\dots,c_p$ , thì

$\begin{matrix}0=&0\cdot\mathbf{u}_1=(c_1\mathbf{u}_1+c_2\mathbf{u}_2+\dots+c_p\mathbf{u}_p)\cdot\mathbf{u}_1\\\quad=&(c_1\mathbf{u}_1)\cdot\mathbf{u}_1+(c_2\mathbf{u}_2)\cdot\mathbf{u}_1+\dots+(c_p\mathbf{u}_p)\cdot\mathbf{u}_1\\\quad=&c_1(\mathbf{u_1\cdot u_1})+c_2(\mathbf{u_2\cdot u_1})+\dots+c_p(\mathbf{u_p\cdot u_1})\\\quad=&c_1(\mathbf{u_1\cdot u_1})\\\end{matrix}$

bởi vì $\mathbf{u}_1$ trực giao với $\mathbf{u}_2,\dots,\mathbf{u}_p$ . Vì $\mathbf{u}_1$ là một vector khác không, nên $\mathbf{u}_1\mathbf{\cdot u}_1$ không bằng 0, do đó $c_1=0$ . Tương tự, $c_2,\dots,c_p$ cũng phải bằng 0. Do đó, $S$ là một tập hợp độc lập tuyến tính.

Định nghĩa

Một cơ sở trực giao của một không gian con  trong  là một cơ sở của  đồng thời cũng là một tập hợp trực giao.

Định lý tiếp theo cho thấy lý do tại sao một cơ sở trực giao lại thuận lợi hơn so với các cơ sở khác. Các hệ số trong một tổ hợp tuyến tính có thể được tính toán dễ dàng.

Định lý 5

Cho tập  là một cơ sở trực giao của một không gian con  trong . Với mỗi  trong , các hệ số trong tổ hợp tuyến tính


được cho bởi

Chứng minh: Như trong chứng minh trước, tính trực giao của tập $\{\mathbf{u}_1,\mathbf{\dots,u}_p\}$ cho thấy rằng

$\mathbf{y\cdot u}_1=(c_1\mathbf{u}_1+c_2\mathbf{u}_2+\dots+c_p\mathbf{u}_p)\mathbf{\cdot u}_1=c_1(\mathbf{u}_1\mathbf{\cdot u}_1).$

Vì $\mathbf{u_1\cdot u_1}\neq 0$ , ta có thể giải được $c_1$ . Tương tự, để tìm $c_j$ với $j=2,\dots,p$ , ta tính $\mathbf{y\cdot u}_j$ và giải $c_j$ .

Ví dụ 2: Tập $S=\{\mathbf{u_1,u_2,u_3}\}$ trong ví dụ 1 là một cơ sở trực giao của $\mathbb{R}^3$ . Biểu diễn vectơ $\mathbf{y}=\begin{bmatrix}6\\1\\8\end{bmatrix}$ dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong $S$ .

Giải: Tính

$\begin{matrix}\begin{matrix}\mathbf{y\cdot u_{1}}&=11,\\\mathbf{u_{1}\cdot u_{1}}&=11,\\\end{matrix}&\qquad\begin{matrix}\mathbf{y\cdot u_{2}}&=-12,\\\mathbf{u_{2}\cdot u_{2}}&=6,\\\end{matrix}&\qquad\begin{matrix}\mathbf{y\cdot u_{3}}&=-33\\\mathbf{u_{3}\cdot u_{3}}&=33/2\\\end{matrix}\\\end{matrix}$

Theo Định lý 5:

$\begin{matrix}\mathbf{y}=&\frac{\mathbf{y\cdot u}_1}{\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1}\mathbf{u}_1+\frac{\mathbf{y\cdot u}_2}{\mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_2}\mathbf{u}_2+\frac{\mathbf{y\cdot u}_3}{\mathbf{u}_3\cdot\mathbf{u}_3}\mathbf{u}_3\\\\\quad=&\frac{11}{11}\mathbf{u}_1+\frac{-12}{2}\mathbf{u}_2+\frac{-33}{33/2}\mathbf{u}_3\\\\\quad=&\mathbf{u_1-2u_2-2u_3}\\\end{matrix}$

Lưu ý rằng việc tính các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{y}$ từ một cơ sở trực giao rất đơn giản. Nếu cơ sở không trực giao, ta sẽ phải giải một hệ phương trình tuyến tính để tìm các hệ số, như đã thấy trong phần 1.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 4: Tập hợp trực giao

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy