Bài giảng 5: Phép chiếu trực giao

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Cho một vector khác không $\mathbf{u}$ trong $\mathbb{R}^n$ , xét bài toán phân tách một vector $\mathbf{y}$ trong $\mathbb{R}^n$ thành tổng của hai vector, một vector là bội của $\mathbf{u}$ và vector còn lại trực giao với $\mathbf{u}$ . Ta mong muốn viết:

(1) $\begin{equation*}\mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}+\mathbf{z}\end{equation*}$

trong đó $\hat{\mathbf{y}}=\alpha\mathbf{u}$ với một số vô hướng $\alpha$ , và $\mathbf{z}$ là một vector trực giao với $\mathbf{u}$ . Xem hình 2.

Hình 2: Tìm $\alpha$ để $\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}$ trực giao với $\mathbf{u}$ .

Với mọi số vô hướng $\alpha$ , đặt $\mathbf{z}=\mathbf{y}-\alpha\mathbf{u}$ , sao cho phương trình (1) được thỏa mãn. Khi đó, $\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}$ trực giao với $\mathbf{u}$ nếu và chỉ nếu:

$0=(\mathbf{y}-\alpha\mathbf{u})\cdot\mathbf{u}=\mathbf{y}\cdot\mathbf{u}-(\alpha\mathbf{u})\cdot\mathbf{u}=\mathbf{y}\cdot\mathbf{u}-\alpha(\mathbf{u}\cdot\mathbf{u})$

Điều này có nghĩa là phương trình (1) được thỏa mãn với $\mathbf{z}$ trực giao với $\mathbf{u}$ nếu và chỉ nếu $\alpha=\frac{\mathbf{y\cdot u}}{\mathbf{u\cdot u}}$ , suy ra $\hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y\cdot u}}{\mathbf{u\cdot u}}\mathbf{u}$ .

Vector $\hat{\mathbf{y}}$ được gọi là phép chiếu trực giao của $\mathbf{y}$ lên $\mathbf{u}$ , và vector $\mathbf{z}$ được gọi là thành phần của $\mathbf{y}$ trực giao với $\mathbf{u}$ .

Nếu $c$ là một số vô hướng khác không và nếu ta thay $\mathbf{u}$ bằng $c\mathbf{u}$ trong định nghĩa của $\hat{\mathbf{y}}$ , thì phép chiếu trực giao của $\mathbf{y}$ lên cucu vẫn giống như phép chiếu trực giao của $\mathbf{y}$ lên $\mathbf{u}$ . Do đó, phép chiếu này được xác định bởi không gian con $L$ do $\mathbf{u}$ sinh ra (tức là đường thẳng đi qua $\mathbf{u}$ và gốc tọa độ). Đôi khi, $\hat{\mathbf{y}}$ được ký hiệu là $\text{proj}_L\mathbf{y}$ và được gọi là phép chiếu trực giao của $\mathbf{y}$ lên $L$ . Nghĩa là:

(2) $\begin{equation*}\hat{\mathbf{y}}=\text{proj}_L\mathbf{y}=\frac{\mathbf{y\cdot u}}{\mathbf{u\cdot\mathbf{u}}}\mathbf{u}\end{equation*}$

Ví dụ 3: Cho $\mathbf{y}=\begin{bmatrix}7\\6\end{bmatrix}$ và $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}$ . Tìm hình chiếu trực giao của $\mathbf{y}$ lên $\mathbf{u}$ , sau đó viết $\mathbf{y}$ thành tổng của hai vector trực giao: một vector thuộc Span{u}\text{Span} \{u\} và một vector trực giao với $\mathbf{u}$ .

Giải: Tính tích vô hướng:

$\mathbf{y\cdot u}=\begin{bmatrix}7\\6\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}=40$

$\mathbf{u\cdot u}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}=20$

Hình chiếu trực giao của $\mathbf{y}$ lên $\mathbf{u}$ là:

$\hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y\cdot u}}{\mathbf{u\cdot u}}\mathbf{u}=\frac{40}{20}\mathbf{u}=2\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\4\end{bmatrix}$

Thành phần của $\mathbf{y}$ trực giao với $\mathbf{u}$ là:

$\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}=\begin{bmatrix}7\\6\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}8\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$

Tổng hai vector này chính là $\mathbf{y}$ :

Hình chiếu này được minh họa trong hình 3.

**Hình 3** Hình chiếu trực giao của $\mathbf{y}$ lên đường thẳng $L$ đi qua gốc tọa độ.

Nếu các phép tính trên đúng, thì tập $\{\hat{\mathbf{y}},\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\}$ phải là một tập trực giao. Kiểm tra bằng cách tính:

$\hat{\mathbf{y}}\cdot(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}})=\begin{bmatrix}8\\4\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=-8+8=0$

Vì đoạn thẳng trong hình 3 giữa $\mathbf{y}$ và $\hat{\mathbf{y}}$ vuông góc với $L$ (theo cách xây dựng $\hat{\mathbf{y}}$ ), điểm xác định bởi $\hat{\mathbf{y}}$ là điểm gần nhất trên $L$ so với $\mathbf{y}$ . (Điều này có thể được chứng minh bằng hình học. Chúng ta sẽ giả định điều này cho $\mathbb{R}^2$ ngay bây giờ và chứng minh nó cho $\mathbb{R}^n$ .)

Ví dụ 4: Tìm khoảng cách trong hình 3 từ $\mathbf{y}$ đến $L$ .

Giải: Khoảng cách từ $\mathbf{y}$ đến $L$ là độ dài của đoạn thẳng vuông góc từ $\mathbf{y}$ đến hình chiếu trực giao $\hat{\mathbf{y}}$ . Độ dài này chính là độ dài của $\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}$ . Do đó, khoảng cách là:

$\|\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5}$

Một Diễn Giải Hình Học của Định Lý 5

Công thức chiếu trực giao $\hat{\mathbf{y}}$ trong (2) có cùng dạng với từng hạng tử trong định lý 5. Do đó, định lý 5 phân tích một vectơ $\mathbf{y}$ thành tổng của các phép chiếu trực giao lên các không gian con một chiều.

Trường hợp dễ hình dung nhất là khi $W=\mathbb{R}^2=\text{Span}\:\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\}$ , với $\mathbf{u}_1$ và $\mathbf{u}_2$ trực giao. Khi đó, mọi vectơ $\mathbf{y}$ trong $\mathbb{R}^2$ có thể được viết dưới dạng:

(3) $\begin{equation*}\mathbf{y}=\frac{\mathbf{y\cdot u}_1}{\mathbf{u}_1\cdot{\mathbf{u}}_1}\mathbf{u}_1+\frac{\mathbf{y\cdot u}_2}{\mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_2}\mathbf{u}_2\end{equation*}$

Hạng tử đầu tiên trong (3) là phép chiếu của $\mathbf{y}$ lên không gian con do $\mathbf{u}_1$ sinh ra (đường thẳng đi qua $\mathbf{u}_1$ và gốc tọa độ), và hạng tử thứ hai là phép chiếu của $\mathbf{y}$ lên không gian con do $\mathbf{u}_2$ sinh ra. Do đó, (3) biểu diễn $\mathbf{y}$ như tổng của các phép chiếu lên các trục (trực giao) được xác định bởi $\mathbf{u}_1$ và $\mathbf{u}_2$ . Xem hình 4.

Hình 4: Một vector được phân tích thành tổng của hai phép chiếu

Định lý 5 phân tích mỗi vectơ $\mathbf{y}$ trong $\text{Span}\,\{\mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_p\}$ thành tổng của $p$ phép chiếu lên các không gian con một chiều, vốn đều trực giao với nhau.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 5: Phép chiếu trực giao

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy