Bài giảng 6: Tập Hợp Trực Chuẩn

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Phân Tích Một Lực Thành Các Thành Phần Lực

Phép phân tích trong hình 4 có thể xuất hiện trong vật lý khi một lực nào đó tác dụng lên một vật. Việc chọn một hệ tọa độ phù hợp cho phép lực này được biểu diễn bằng một vectơ $\mathbf{y}$ trong $\mathbb{R}^2$ hoặc $\mathbb{R}^3$ . Thường thì bài toán liên quan đến một hướng cụ thể nào đó, được biểu diễn bởi một vectơ khác $\mathbf{u}$ . Ví dụ, nếu vật đang chuyển động theo một đường thẳng khi lực được tác dụng, thì vectơ $\mathbf{u}$ có thể chỉ theo hướng chuyển động, như trong hình 5. Một bước quan trọng trong bài toán là phân tích lực thành một thành phần theo hướng của $\mathbf{u}$ và một thành phần trực giao với $\mathbf{u}$ . Các phép tính sẽ tương tự như những gì đã thực hiện trong ví dụ 3.

Tập Hợp Trực Chuẩn

Một tập hợp $\{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p\}$ được gọi là một tập hợp trực chuẩn nếu nó là một tập hợp trực giao của các vectơ đơn vị. Nếu $W$ là không gian con được sinh bởi tập hợp này, thì $\{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p\}$ là một cơ sở trực chuẩn của $W$ , vì tập hợp này tự động độc lập tuyến tính theo định lý 4.

Ví dụ đơn giản nhất của một tập hợp trực chuẩn là cơ sở tiêu chuẩn $\{\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\}$ cho $\mathbb{R}^n$ . Bất kỳ tập con khác rỗng nào của $\{\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\}$ cũng là một tập hợp trực chuẩn. Dưới đây là một ví dụ phức tạp hơn.

Ví dụ 5: Chứng minh rằng tập hợp $\{\mathbf{v_1,v_2,v_3}\}$ là một cơ sở trực chuẩn của $\mathbb{R}^3$ , trong đó:

$\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}3/\sqrt{11}\\1/\sqrt{11}\\1/\sqrt{11}\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-1/\sqrt{6}\\2/\sqrt{6}\\1/\sqrt{6}\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}-1/\sqrt{66}\\-4/\sqrt{66}\\7/\sqrt{66}\end{bmatrix}$

Giải: Tính tích vô hướng giữa các cặp vectơ:

$\begin{matrix}\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=&-3/\sqrt{66}+2/\sqrt{66}+1/\sqrt{66}=0\\\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_3=&-3/\sqrt{726}-4/\sqrt{726}+7/\sqrt{726}=0\\\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{v}_3=&1/\sqrt{396}-8/\sqrt{396}+7/\sqrt{396}=0\\\end{matrix}$

Do đó, tập hợp $\{\mathbf{v_1,v_2,v_3}\}$ là một tập trực giao. Tiếp theo, kiểm tra chuẩn của từng vectơ:

$\begin{matrix}\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_1=&9/11+1/11+1/11=1\\\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{v}_2=&1/6+4/6+1/6=1\\\mathbf{v}_3\cdot\mathbf{v}_3=&1/66+16/66+49/66=1\\\end{matrix}$

Do đó, $\{\mathbf{v_1,v_2}\}$ và $\{\mathbf{v_3}\}$ là các vectơ đơn vị, nghĩa là $\{\mathbf{v_1,v_2,v_3}\}$ là một tập hợp trực chuẩn.

Vì tập hợp này là độc lập tuyến tính, nên nó là một cơ sở trực chuẩn của $\mathbb{R}^3$ . Xem hình 6 để trực quan hóa kết quả. Khi các vectơ trong một tập hợp trực giao gồm các vectơ khác không được chuẩn hóa để có độ dài bằng một, các vectơ mới vẫn sẽ trực giao. Do đó, tập hợp mới sẽ là một tập trực chuẩn. Dễ dàng kiểm tra rằng các vectơ trong hình 6 (ví dụ 5) chính là các vectơ đơn vị theo hướng của các vectơ trong hình 1 (ví dụ 1).

Các ma trận có các cột tạo thành một tập hợp trực chuẩn rất quan trọng trong các ứng dụng và trong các thuật toán tính toán ma trận. Các tính chất chính của chúng được nêu trong định lý 6 và định lý 7.

Định lý 6

Một ma trận  kích thước  có các cột trực chuẩn nếu và chỉ nếu .

Chứng minh: Để đơn giản ký hiệu, giả sử $U$ chỉ có ba cột, mỗi cột là một vectơ trong $\mathbb{R}^m$ . Chứng minh cho trường hợp tổng quát cũng tương tự. Gọi $U=\begin{bmatrix}\mathbf{u}_1&\mathbf{u}_2&\mathbf{u}_3\end{bmatrix}$ , ta tính:

(4) $\begin{equation*}U^T U=\begin{bmatrix}\mathbf{u}_1^T\\\mathbf{u}_2^T\\\mathbf{u}_3^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{u}_1&\mathbf{u}_2&\mathbf{u}_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{u}_1^T\mathbf{u}_1&\mathbf{u}_1^T\mathbf{u}_2&\mathbf{u}_1^T\mathbf{u}_3\\\mathbf{u}_2^T\mathbf{u}_1&\mathbf{u}_2^T\mathbf{u}_2&\mathbf{u}_2^T\mathbf{u}_3\\\mathbf{u}_3^T\mathbf{u}_1&\mathbf{u}_3^T\mathbf{u}_2&\mathbf{u}_3^T\mathbf{u}_3\end{bmatrix}\end{equation*}$

Các phần tử trong ma trận ở vế phải là các tích vô hướng, viết theo dạng chuyển vị. Các cột của $U$ là trực giao khi và chỉ khi:

(5) $\begin{equation*}\mathbf{u}_1^T\mathbf{u}_2=\mathbf{u}_2^T\mathbf{u}_1=0,\quad\mathbf{u}_1^T\mathbf{u}_3=\mathbf{u}_3^T\mathbf{u}_1=0,\quad\mathbf{u}_2^T\mathbf{u}_3=\mathbf{u}_3^T\mathbf{u}_2=0\end{equation*}$

Các cột của $U$ có độ dài đơn vị khi và chỉ khi:

(6) $\begin{equation*}\mathbf{u}_1^T\mathbf{u}_1=1,\quad\mathbf{u}_2^T\mathbf{u}_2=1,\quad\mathbf{u}_3^T\mathbf{u}_3=1\end{equation*}$

Từ đó, ta suy ra $U^T U=I$ , chứng minh định lý.

Định lý 7 Gọi  là ma trận  có các cột trực chuẩn, và  là các vectơ trong . Khi đó:
a.	
b.	
c.	 khi và chỉ khi

Các tính chất (a) và (c) cho thấy phép ánh xạ tuyến tính $\mathbf{x}\mapsto U\mathbf{x}$ bảo toàn độ dài và tính trực giao. Đây là những thuộc tính quan trọng trong nhiều thuật toán máy tính.

Ví dụ 6: Cho ma trận $U=\begin{bmatrix}{1}/{\sqrt{2}}&{2}/{3}\\{1}/{\sqrt{2}}&{-2}/{3}\\0&1/3\end{bmatrix}$ và vectơ $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}\sqrt{2}\\3\end{bmatrix}$ . Lưu ý rằng $U$ có các cột trực chuẩn và:

$U^T U=\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}&0\\2/3&-2/3&1/3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}/{\sqrt{2}}&{2}/{3}\\{1}/{\sqrt{2}}&{-2}/{3}\\0&1/3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}$

Xác minh rằng $\|U\mathbf{x}\|=\|\mathbf{x}\|.$ .

Giải: Tính

$U\mathbf{x}=\begin{bmatrix}{1}/{\sqrt{2}}&{2}/{3}\\{1}/{\sqrt{2}}&{-2}/{3}\\0&1/3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sqrt{2}\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\-1\\1\end{bmatrix}$

$\|U\mathbf{x}\|=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}$

$\|\mathbf{x}\|=\sqrt{2+9}=\sqrt{11}$

Vậy $\|U\mathbf{x}\|=\|\mathbf{x}\|.$ , thỏa mãn Định lý 7(a).

Các định lý 6 và 7 đặc biệt hữu ích khi áp dụng cho ma trận vuông. Một ma trận trực giao là một ma trận vuông khả nghịch $U$ sao cho: $U^{-1}=U^T$ . Theo định lý 6, một ma trận như vậy có các cột trực chuẩn. Bất kỳ ma trận vuông nào có các cột trực chuẩn đều là ma trận trực giao. Điều đáng ngạc nhiên là các hàng của ma trận trực giao cũng trực chuẩn. Ma trận trực giao sẽ xuất hiện nhiều trong phần tiếp theo.

Ví dụ 7: Ma trận

$U=\begin{bmatrix}3/\sqrt{11}&-1/\sqrt{6}&-1/\sqrt{66}\\1/\sqrt{11}&2/\sqrt{6}&-4/\sqrt{66}\\1/\sqrt{11}&1/\sqrt{6}&7/\sqrt{66}\\\end{bmatrix}$

là một ma trận trực giao vì nó là ma trận vuông và các cột của nó trực chuẩn (theo ví dụ 5). Xác minh rằng các hàng cũng trực chuẩn.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 6: Tập Hợp Trực Chuẩn

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy