Bài giảng 9: Quy trình Gram–Schmidt

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Quy trình Gram–Schmidt là một thuật toán đơn giản để tạo ra một cơ sở trực giao hoặc trực chuẩn cho bất kỳ không gian con nào khác không của . Hai ví dụ đầu tiên minh họa cách thực hiện phép tính thủ công.

Ví dụ 1: Cho , trong đó và . Hãy tìm một cơ sở trực giao cho .

Giải: Không gian con được minh họa trong hình 1,

cùng với các vectơ , và hình chiếu pp của lên . Thành phần của vuông góc với là , nằm trong vì nó được tạo thành từ và một bội số của . Đặt và

Vậy tập là một tập vectơ trực giao không tầm thường trong . Vì , tập là một cơ sở của .

Ví dụ tiếp theo minh họa đầy đủ quá trình Gram–Schmidt. Hãy nghiên cứu kỹ.

Ví dụ 2: Cho , , và . Khi đó, tập rõ ràng là độc lập tuyến tính và do đó là một cơ sở của một không gian con của . Hãy xây dựng một cơ sở trực giao cho .

Giải:

Bước 1. Đặt và xác định .

Bước 2. Xây dựng bằng cách trừ đi khỏi phần hình chiếu của nó lên không gian con , tức là:

Như trong ví dụ 1, là phần của trực giao với , và tập là một cơ sở trực giao cho không gian con được sinh bởi và .

Bước 2 (tùy chọn): Nếu cần thiết, hãy nhân với một hệ số thích hợp để đơn giản hóa các phép tính sau này. Vì có các phần tử phân số, nên thuận tiện khi nhân nó với 4 và thay thế tập bằng cơ sở trực giao mới:

Bước 3: Xác định bằng cách trừ đi khỏi phần hình chiếu của nó lên không gian con . Sử dụng cơ sở trực giao để tính hình chiếu của lên :

Khi đó, chính là phần của trực giao với , cụ thể:

Xem hình 2 để thấy sơ đồ minh họa cho quá trình xây dựng này. Lưu ý rằng thuộc , vì cả và đều nằm trong . Do đó, tập là một tập trực giao gồm các vector khác không, đồng thời là một tập độc lập tuyến tính trong . Lưu ý rằng có số chiều bằng ba, vì nó được xác định bởi một tập cơ sở gồm ba vector. Do đó, theo Định lý Cơ sở, tập là một cơ sở trực giao của .

Bằng chứng của định lý tiếp theo sẽ cho thấy rằng chiến lược này thực sự hiệu quả. Việc chuẩn hóa vector không được đề cập vì nó chỉ nhằm đơn giản hóa các phép tính thủ công.

ĐỊNH LÝ 11 Quy trình Gram–Schmidt

Cho một cơ sở  của một không gian con khác không  trong , định nghĩa:




Khi đó, tập  là một cơ sở trực giao của . Ngoài ra

 (1)    

Chứng minh: Với , đặt . Đặt , sao cho . Giả sử với một số , ta đã xây dựng các vector sao cho là một cơ sở trực giao của . Khi đó, định nghĩa:

(2)  

Theo Định lý Phân rã Trực giao, trực giao với . Lưu ý rằng thuộc , do đó cũng thuộc . Vì thuộc , nên cũng thuộc (vì là không gian con và đóng dưới phép trừ). Hơn nữa, vì không thuộc . Do đó, tập là một tập hợp trực giao gồm các vector khác không trong không gian -chiều . Theo Định lý Cơ sở, tập này là một cơ sở trực giao của , nghĩa là: . Khi , quá trình kết thúc.

Định lý 11 cho thấy rằng mọi không gian con khác không của đều có một cơ sở trực giao, vì luôn tồn tại một cơ sở thông thường (theo Định lý 12), và quá trình Gram–Schmidt chỉ phụ thuộc vào sự tồn tại của phép chiếu trực giao lên các không gian con của đã có cơ sở trực giao.