Bài giảng 1: Không gian vector

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Tín hiệu thời gian rời rạc và xử lý tín hiệu số

Xử lý tín hiệu số là gì? Hãy hỏi Alexa, thiết bị sử dụng xử lý tín hiệu để ghi lại câu hỏi của bạn và đưa ra câu trả lời. Vào năm 2500 TCN, người Ai Cập đã tạo ra tín hiệu thời gian rời rạc đầu tiên được ghi nhận bằng cách khắc thông tin về lũ lụt sông Nile lên phiến đá Palermo. Mặc dù tín hiệu thời gian rời rạc xuất hiện từ rất sớm, nhưng mãi đến những năm 1940, Claude Shannon mới khởi xướng cuộc cách mạng số với các ý tưởng được trình bày trong bài báo “A Mathematical Theory of Communication” (Lý thuyết toán học về truyền thông).

Khi một người nói vào một bộ xử lý số như Alexa, thiết bị này sẽ chuyển đổi âm thanh giọng nói thành một tín hiệu thời gian rời rạc – về cơ bản là một chuỗi số $\begin{Bmatrix}y_k\end{Bmatrix}$ , trong đó kk biểu thị thời điểm mà giá trị $y_k$ được ghi lại. Sau đó, tín hiệu được xử lý thông qua các phép biến đổi bất biến theo thời gian tuyến tính (LTI-linear time invariant) để loại bỏ các tạp âm không mong muốn, chẳng hạn như tiếng quạt chạy trong nền.

Tín hiệu đã qua xử lý sau đó được so sánh với các tín hiệu được tạo ra bởi các bản ghi âm của các âm thanh riêng lẻ tạo nên ngôn ngữ của người nói. Hình 1 minh họa một bản ghi âm của từ “yes” và từ “no”, cho thấy rằng các tín hiệu tạo ra hoàn toàn khác biệt.

Sau khi xác định được các âm thanh trong câu hỏi, thuật toán học máy sẽ đưa ra dự đoán tốt nhất về ý định của câu hỏi đối với một bộ xử lý số như Alexa. Bộ xử lý số sau đó sẽ tìm kiếm trong dữ liệu số hóa để tìm câu trả lời phù hợp nhất. Cuối cùng, tín hiệu được xử lý thêm để tạo ra âm thanh ảo, mô phỏng câu trả lời được nói ra.

Xử lý tín hiệu số (DSP) là một nhánh của kỹ thuật đã cách mạng hóa giao tiếp giữa con người và ngành công nghiệp giải trí chỉ trong vài thập kỷ. Bằng cách kết hợp các nguyên tắc của điện tử, viễn thông và khoa học máy tính thành một mô hình thống nhất, DSP đóng vai trò cốt lõi trong cuộc cách mạng số. Một chiếc điện thoại thông minh nhỏ gọn trong lòng bàn tay có thể thay thế nhiều thiết bị khác như máy ảnh, máy quay video, đầu phát CD, sổ kế hoạch và máy tính, biến tưởng tượng về Thư viện Babel của Borges thành hiện thực.

Ứng dụng của tín hiệu rời rạc và DSP không chỉ giới hạn trong lĩnh vực kỹ thuật hệ thống. Phân tích kỹ thuật được sử dụng trong ngành đầu tư để xác định cơ hội giao dịch bằng cách áp dụng DSP vào tín hiệu rời rạc được tạo ra khi giá hoặc khối lượng giao dịch của một cổ phiếu được ghi nhận theo thời gian. Trong Ví dụ 11 của Mục 4.2, dữ liệu giá được làm mượt bằng cách sử dụng một phép biến đổi tuyến tính. Trong ngành công nghiệp giải trí, âm thanh và video được tạo ra một cách ảo và tổng hợp bằng DSP. Trong Ví dụ 3 của Mục 4.7, chúng ta thấy cách xử lý tín hiệu có thể được sử dụng để tăng độ phong phú cho âm thanh ảo.

Tín hiệu rời rạc và xử lý tín hiệu số (DSP) đã trở thành những công cụ quan trọng trong nhiều ngành công nghiệp và lĩnh vực nghiên cứu. Về mặt toán học, tín hiệu rời rạc có thể được xem như các vectơ và được xử lý thông qua các phép biến đổi tuyến tính. Các phép toán như cộng, nhân vô hướng và áp dụng phép biến đổi tuyến tính lên tín hiệu hoàn toàn tương tự với các phép toán trên vectơ trong không gian Rn\mathbb{R}^n. Vì lý do này, tập hợp tất cả các tín hiệu có thể có, ký hiệu là $S$ , được coi là một không gian vectơ. Trong các bài sau, chúng ta sẽ xem xét chi tiết hơn về không gian vectơ của tín hiệu rời rạc.

Phần này tập trung vào việc mở rộng lý thuyết về vectơ trong $\mathbb{R}^n$ để bao gồm cả tín hiệu và các cấu trúc toán học khác có hành vi giống như các vectơ mà bạn đã quen thuộc. Sau này, bạn sẽ thấy cách các không gian vectơ khác và các phép biến đổi tuyến tính tương ứng xuất hiện trong kỹ thuật, vật lý, sinh học và thống kê.

Những nền tảng toán học được đặt ra trong các bài trước bắt đầu nảy mầm và phát triển trong phần này. Vẻ đẹp và sức mạnh của đại số tuyến tính sẽ được thể hiện rõ hơn khi bạn nhận ra rằng $\mathbb{R}^n$ chỉ là một trong nhiều không gian vectơ xuất hiện một cách tự nhiên trong các bài toán ứng dụng.

Bắt đầu với các định nghĩa cơ bản trong bài tiếp, khung lý thuyết của không gian vectơ được xây dựng dần dần xuyên suốt phần này.

Không Gian Vectơ và Không Gian Con

Định nghĩa

Một không gian vectơ là một tập hợp không rỗng  gồm các đối tượng gọi là vectơ, trên đó xác định hai phép toán: cộng và nhân với vô hướng (số thực), thỏa mãn mười tiên đề (hay quy tắc) sau. Các tiên đề này phải đúng với mọi vectơ  và mọi số vô hướng .
1. Tổng của  và , ký hiệu , thuộc .
2. .
3. .
4. Tồn tại một vectơ không  sao cho 
5. Với mỗi , tồn tại một vectơ  sao cho .
6. Tích của  với vô hướng , ký hiệu , thuộc .
7. .
8. .
9. .
10. .

Chỉ dựa vào các tiên đề này, ta có thể chứng minh rằng vectơ không trong tiên đề 4 là duy nhất, và vectơ $-\mathbf{u}$ , được gọi là đối của $\mathbf{u}$ trong tiên đề 5, cũng là duy nhất với mỗi $\mathbf{u}\in V$ .

Với mỗi  và số vô hướng ,

 (1)    

 (2)    

 (3)

Ví dụ 1: Không gian $\mathbb{R}^n$ , với $n\geq 1$ , là những ví dụ tiêu biểu nhất về không gian vectơ. Trực giác hình học được phát triển cho $\mathbb{R}^3$ sẽ giúp bạn hiểu và hình dung nhiều khái niệm trong suốt phần này.

Ví dụ 2: Gọi $V$ là tập hợp tất cả các mũi tên (đoạn thẳng có hướng) trong không gian ba chiều, trong đó hai mũi tên được coi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Định nghĩa phép cộng theo quy tắc hình bình hành, và với mỗi $\mathbf{v}\in V$ , định nghĩa $c\mathbf{v}$ là mũi tên có độ dài $\left|c\right|$ lần độ dài của $\mathbf{v}$ , hướng cùng chiều với $\mathbf{v}$ nếu $c\geq 0$ và ngược chiều nếu $c<0$ . (Xem Hình 1.) Chứng minh rằng $V$ là một không gian vectơ. Không gian này thường được sử dụng trong các bài toán vật lý để mô hình hóa các lực khác nhau.

Giải: Định nghĩa của $V$ mang tính hình học, sử dụng các khái niệm về độ dài và hướng mà không cần đến hệ tọa độ $xyz$ . Một mũi tên có độ dài bằng 0 là một điểm duy nhất và đại diện cho vectơ không. Đối của vv là $(-1)v$ . Do đó, tiên đề 1, 4, 5, 6 và 10 hiển nhiên đúng. Các tiên đề còn lại được kiểm chứng thông qua hình học. Ví dụ, hãy xem hình 2 và hình 3.

Hình 2: $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$

Hình 2: $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$

Hình 3: $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$

Hình 3: $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$

Ví dụ 3: Gọi $S$ là không gian của tất cả các dãy số vô hạn hai chiều (thường được viết theo hàng thay vì cột):

$\{y_k\}=(\dots,y_{-2},y_{-1},y_0,y_1,y_2,\dots)$

Nếu $z_{k}$ là một phần tử khác của $S$ , thì tổng $\left\{y_{k}\right\}+\left\{z_{k}\right\}$ là dãy số $\left\{y_{k}+z_{k}\right\}$ được tạo thành bằng cách cộng từng phần tử tương ứng của $\left\{y_{k}\right\}$ và $\left\{z_{k}\right\}$ . Bội vô hướng $c\left\{y_{k}\right\}$ là dãy số $\left\{cy_{k}\right\}$ . Các tiên đề của không gian vectơ được chứng minh tương tự như trong $\mathbb{R}^n$ .

Các phần tử của $S$ xuất hiện trong kỹ thuật, chẳng hạn khi một tín hiệu được đo (hoặc lấy mẫu) tại các thời điểm rời rạc. Tín hiệu có thể là điện, cơ học, quang học, sinh học, âm thanh, v.v. Các bộ xử lý tín hiệu số được đề cập trong phần giới thiệu chương sử dụng các tín hiệu rời rạc (hoặc kỹ thuật số). Để tiện lợi, chúng ta sẽ gọi $S$ là không gian của các tín hiệu (thời gian rời rạc). Một tín hiệu có thể được biểu diễn bằng đồ thị như trong hình 4.

Hình 4: Một tín hiệu thời gian rời rạc.

Ví dụ 4: Với $n\geq 0$ , tập hợp $P_n$ của các đa thức có bậc không vượt quá $n$ bao gồm tất cả các đa thức có dạng:

(4) $\begin{equation*}\mathbf{p}(t)=a_0+a_1 t+a_2 t^2+\dots+a_n t^n\end{equation*}$

trong đó các hệ số $a_0,\dots,a_n$ và biến $t$ đều là các số thực. Bậc của $\mathbf{p}$ là số mũ cao nhất của tt trong phương trình trên có hệ số khác không. Nếu $\mathbf{p}(t)=a_0\neq 0$ , thì $\mathbf{p}$ có bậc bằng 0. Nếu tất cả các hệ số đều bằng 0, thì $\mathbf{p}$ được gọi là đa thức không. Đa thức không vẫn được bao gồm trong $\mathbb{P}_n$ mặc dù bậc của nó không được xác định vì lý do kỹ thuật.

Nếu $\mathbf{p}$ được cho bởi phương trình trên và nếu $\mathbf{q}(t)=b_0+b_1 t+\dots+b_n t^n$ , thì tổng $\mathbf{p+q}$ được xác định bởi

$(\mathbf{p}+\mathbf{q})(t)=\mathbf{p}(t)+\mathbf{q}(t)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)t+\dots+(a_n+b_n)t^n$

Bội vô hướng $c\mathbf{p}$ của $\mathbf{p}$ được xác định bởi

$(c\mathbf{p})(t)=c\mathbf{p}(t)=c a_0+(c a_1)t+\dots+(c a_n)t^n$

Các định nghĩa này thỏa mãn tiên đề 1 và 6 vì $\mathbf{p+q}$ và $c\mathbf{p}$ đều là các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng $n$ . Tiên đề 2, 3, và 7–10 được suy ra từ các tính chất của số thực. Rõ ràng, đa thức không đóng vai trò là vectơ không trong tiên đề 4. Cuối cùng, $(-1)\mathbf{p}$ đóng vai trò là phần tử đối của $\mathbf{p}$ , do đó tiên đề 5 cũng được thỏa mãn. Vì vậy, $\mathbb{P}_{n}$ là một không gian vectơ.

Các không gian vectơ $\mathbb{P}_{n}$ với các giá trị khác nhau của $n$ được sử dụng, chẳng hạn, trong phân tích xu hướng thống kê của dữ liệu, được thảo luận trong bài sau.

Ví dụ 5: Gọi $V$ là tập hợp tất cả các hàm số thực được xác định trên một tập $\mathbb{D}$ . (Thông thường, $\mathbb{D}$ là tập hợp các số thực hoặc một khoảng nào đó trên trục số thực.)

Các hàm số được cộng theo cách thông thường: $\mathbf{f}+\mathbf{g}$ là hàm số có giá trị tại $t$ trong miền xác định $\mathbb{D}$ là $\mathbf{f}(t)+\mathbf{g}(t)$ .

Tương tự, với một vô hướng $c$ và một hàm $\mathbf{f}$ trong $V$ , bội vô hướng $c\mathbf{f}$ là hàm số có giá trị tại $t$ là $c\mathbf{f}(t)$ . Ví dụ, nếu $\mathbb{D=R}$ , $\mathbf{f}(t) = 1 + \sin 2t$ , và $g(t) = 2 + .5t$ , thì:

Hai hàm số trong $V$ được coi là bằng nhau nếu và chỉ nếu chúng có cùng giá trị tại mọi $t$ trong $\mathbb{D}$ . Do đó, vectơ không trong $V$ là hàm số luôn bằng 0, tức là $\mathbf{f}(t) = 0$ với mọi $t$ . Phần tử đối của $\mathbf{f}$ là $(-1)\mathbf{f}$ . Tiên đề 1 và 6 hiển nhiên đúng, và các tiên đề khác suy ra từ các tính chất của số thực, vì vậy $V$ là một không gian vectơ.

Điều quan trọng là phải xem mỗi hàm số trong không gian vectơ $V$ của ví dụ 5 như một đối tượng duy nhất, tức là một “điểm” hoặc một vectơ trong không gian vectơ. Tổng của hai vectơ $\mathbf{f}$ và $\mathbf{g}$ (các hàm trong $V$ hoặc phần tử của bất kỳ không gian vectơ nào) có thể được hình dung như trong hình 5. Điều này giúp bạn mở rộng trực giác hình học mà bạn đã phát triển khi làm việc với không gian vectơ $\mathbb{R}^n$ sang các không gian vectơ tổng quát hơn. Hãy tham khảo hướng dẫn học tập để làm quen với cách tiếp cận tổng quát hơn này.

Tín hiệu thời gian rời rạc và xử lý tín hiệu số

Không Gian Vectơ và Không Gian Con

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 1: Không gian vector

Lesson Attachments

Tín hiệu thời gian rời rạc và xử lý tín hiệu số

Không Gian Vectơ và Không Gian Con

Để lại một bình luận Hủy