Bài giảng 2: Không gian con

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Trong nhiều bài toán, một không gian vector bao gồm một tập hợp con thích hợp của các vector từ một không gian vector lớn hơn. Trong trường hợp này, chỉ cần kiểm tra ba trong số mười tiên đề của không gian vector; các tiên đề còn lại được tự động thỏa mãn.

Định nghĩa

Một không gian con của không gian vector  là một tập hợp con  của  thỏa mãn ba tính chất sau:

a. Vector không của  thuộc .
b.  đóng dưới phép cộng vector, nghĩa là với mỗi  và  trong , tổng  cũng thuộc .

c.  đóng dưới phép nhân vô hướng, nghĩa là với mỗi  trong  và mỗi vô hướng , vector  cũng thuộc .

Ba tính chất (a), (b) và (c) đảm bảo rằng một không gian con $H$ của $V$ cũng là một không gian vector, với các phép toán vector đã được xác định trong $V$ . Để kiểm chứng điều này, lưu ý rằng các tính chất (a), (b) và (c) chính là các Tiên đề 1, 4 và 6 của không gian vector. Các tiên đề 2, 3 và 7–10 tự động đúng trong $H$ vì chúng áp dụng cho mọi phần tử của $V$ , bao gồm cả các phần tử trong $H$ .

Tiên đề 5 cũng đúng trong $H$ , vì nếu $\mathbf{u}$ thuộc $H$ , thì $(−1)\mathbf{u}$ cũng thuộc $H$ theo tính chất (c), và ta biết từ phương trình (3) ở phần trước rằng $(−1)\mathbf{u}$ chính là vector đối của $\mathbf{u}$ theo tiên đề 5.

Như vậy, mỗi không gian con đều là một không gian vector. Ngược lại, mỗi không gian vector đều là một không gian con (của chính nó và có thể của một không gian lớn hơn). Thuật ngữ không gian con được sử dụng khi có ít nhất hai không gian vector trong tư duy, với một không gian nằm trong không gian kia, và cụm từ không gian con của $V$ xác định $V$ là không gian lớn hơn. Xem hình 6.

Ví dụ 6: Tập hợp chỉ bao gồm vector không trong một không gian vector $V$ là một không gian con của $V$ , được gọi là không gian con không và được ký hiệu là $\left\{0\right\}$ .

Ví dụ 7: Gọi $\mathbb{P}$ là tập hợp tất cả các đa thức có hệ số thực, với các phép toán trong $\mathbb{P}$ được định nghĩa như đối với các hàm số. Khi đó, $\mathbb{P}$ là một không gian con của không gian tất cả các hàm số có giá trị thực được xác định trên $\mathbb{R}$ .

Ngoài ra, với mỗi $n\geq 0$ , tập $\mathbb{P}_{n}$ (gồm các đa thức có bậc không vượt quá nn) là một không gian con của $\mathbb{P}$ , vì:

$\mathbb{P}_{n}$ là một tập con của $\mathbb{P}$ ,
$\mathbb{P}_{n}$ chứa đa thức không,
Tổng của hai đa thức trong $\mathbb{P}_{n}$ cũng thuộc $\mathbb{P}_{n}$ ,
Tích của một đa thức trong $\mathbb{P}_{n}$ với một vô hướng vẫn thuộc $\mathbb{P}_{n}$ .

Ví dụ 8: Tập hợp các tín hiệu có hỗ trợ hữu hạn $\mathbb{S}_{f}$ bao gồm các tín hiệu $\left\{y_{k}\right\}$ , trong đó chỉ có hữu hạn phần tử $y_{k}\neq 0$ . Vì tín hiệu không $0=(,0,0,0,)$ không có phần tử khác 0, nên nó rõ ràng thuộc $\mathbb{S}_{f}$ . Nếu cộng hai tín hiệu có hữu hạn phần tử khác 0, tín hiệu kết quả vẫn chỉ có hữu hạn phần tử khác 0. Tương tự, nếu nhân một tín hiệu có hữu hạn phần tử khác 0 với một số vô hướng, kết quả vẫn có hữu hạn phần tử khác 0. Do đó, $\mathbb{S}_{f}$ là một không gian con của $\mathbb{S}$ , không gian các tín hiệu thời gian rời rạc. Xem Hình 7.

Ví dụ 9: Không gian vector $\mathbb{R}^2$ không phải là không gian con của $\mathbb{R}^3$ , vì $\mathbb{R}^2$ thậm chí không phải là một tập con của $\mathbb{R}^3$ (các vector trong $\mathbb{R}^3$ có ba thành phần, trong khi các vector trong $\mathbb{R}^2$ chỉ có hai).

$H=\begin{bmatrix}s\\t\\0\end{bmatrix}:$ $s$ và $t$ là số thực.

là một tập con của $\mathbb{R}^3$ trông và hoạt động giống như $\mathbb{R}^2$ , mặc dù về mặt logic, nó khác biệt với $\mathbb{R}^2$ . Xem hình 8.

Hình 8: Mặt phẳng $x_1x_2$ như một không gian con của $\mathbb{R}^3$ .

Giải: Vector không thuộc $H$ , và $H$ đóng dưới phép cộng vector cũng như phép nhân vô hướng, vì các phép toán này trên các vector trong $H$ luôn tạo ra các vector có thành phần thứ ba bằng 0 (do đó vẫn thuộc $H$ ). Vì vậy, $H$ là một không gian con của $\mathbb{R}^3$ .

Ví dụ 10: Một mặt phẳng trong $\mathbb{R}^3$ không đi qua gốc tọa độ không phải là không gian con của $\mathbb{R}^3$ , vì nó không chứa vector không của $\mathbb{R}^3$ . Tương tự, một đường thẳng trong $\mathbb{R}^2$ không đi qua gốc tọa độ (như trong Hình 9) không phải là không gian con của $\mathbb{R}^2$ .

Hình 9: Một đường thẳng không phải là không gian vectơ.

Không Gian Con Được Sinh Bởi Một Tập Hợp

Ví dụ tiếp theo minh họa một trong những cách phổ biến nhất để mô tả một không gian con. Thuật ngữ tổ hợp tuyến tính đề cập đến tổng của các bội vô hướng của các vector, và Span $\left\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_p\right\}$ là tập hợp tất cả các vector có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}$ .

Ví dụ 11: Cho hai vector $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ trong một không gian vector $V$ , xét tập hợp $H=\text{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}$ . Chứng minh rằng $H$ là một không gian con của $V$ .

Giải:

Chứa vector không:

Vector không thuộc $H$ , vì $\mathbf{0}=0\mathbf{v_{1}}+0\mathbf{v_{2}}$ .

Đóng dưới phép cộng:

Lấy hai vector tùy ý trong $H$ :

$\mathbf{u}=s_{1}\mathbf{v_{1}}+s_{2}\mathbf{v_{2}}$ và $\mathbf{w}=t_{1}\mathbf{v_{1}}+t_{2}\mathbf{v_{2}}$

Theo các tiên đề 2, 3 và 8 của không gian vector, ta có:

$\mathbf{u}+\mathbf{w}=(s_{1}\mathbf{v_{1}}+s_{2}\mathbf{v_{2}})(t_{1}\mathbf{v_{1}}+t_{2}\mathbf{v_{2}})$

$=(s_1+t_1)\mathbf{v}_1+(s_2+t_2)\mathbf{v}_2$

Do đó, $\mathbf{u}+\mathbf{w}$ vẫn thuộc $H$ .

Đóng dưới phép nhân vô hướng:

Nếu $c$ là một số vô hướng bất kỳ, thì theo tiên đề 7 và 9, ta có:

$c\mathbf{u}=c(s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2)=(c s_1)\mathbf{v}_1+(c s_2)\mathbf{v}_2$

Do đó, $c\mathbf{u}$ vẫn thuộc $H$ .

Vậy $H$ là một không gian con của $V$ .

Trong bài tiếp theo, ta sẽ thấy rằng mọi không gian con khác không của $\mathbb{R}^3$ (trừ chính $\mathbb{R}^3$ ) đều có dạng:

$\text{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}$ với hai vector độc lập tuyến tính $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ tạo thành một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.
$\text{Span}\{\mathbf{v}\},\:\mathbf{v}\neq 0$ , tạo thành một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

Xem hình 10. Việc hình dung những trường hợp này có thể giúp ta hiểu rõ hơn về các không gian vector trừu tượng.

Hình 10: Một ví dụ về không gian con.

Định lý 1: Nếu  thuộc một không gian vector , thì  là một không gian con của .

Tập hợp Span ${\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_p}$ được gọi là không gian con được sinh ra (hoặc tạo ra) bởi $\left\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_p\right\}$ .

Nếu $H$ là một không gian con bất kỳ của $V$ , thì một tập sinh (hoặc tập tạo) cho $H$ là một tập hợp $\left\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_p\right\}$ sao cho $H=\text{Span}\:\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_p\}$ .

Ví dụ tiếp theo sẽ minh họa cách sử dụng định lý 1.

Ví dụ 12: Cho $H$ là tập hợp tất cả các vector có dạng: $(a-3b,b-a,\,a,\,b)$ với $a$ và $b$ là các số vô hướng tùy ý. Tức là, $H=\{(a-3b,b-a,a,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\}.$ Chứng minh rằng $H$ là một không gian con của $\mathbb{R}^4.$

Giải: Viết các vector trong $H$ dưới dạng vector cột:

$\begin{bmatrix}a-3b\\b-a\\a\\b\end{bmatrix}=a\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}-3\\1\\0\\1\end{bmatrix}$

Phép tính này cho thấy rằng $H=\text{Span}\left\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\right\}$ , trong đó $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\end{bmatrix}$ và $\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-3\\1\\0\\1\end{bmatrix}$ . Do đó, theo định lý 1, $H$ là một không gian con của $\mathbb{R}^4.$ .

Ví dụ 12 minh họa một kỹ thuật hữu ích để biểu diễn một không gian con $H$ dưới dạng tập hợp các tổ hợp tuyến tính của một số lượng nhỏ vector. Nếu $H=\text{Span}\left\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_p\right\}$ , ta có thể coi tập $\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_p$ như những “tay cầm” giúp ta nắm bắt không gian con $H$ . Điều này giúp đơn giản hóa các phép toán trên tập hợp vô hạn các vector trong $H$ bằng cách thao tác với một tập hợp hữu hạn các vector trong tập sinh.

Ví dụ 13: Tìm giá trị $h$ sao cho $\mathbf{y}$ thuộc không gian con của $\mathbb{R}^3$ được sinh bởi $\mathbf{v_{1},v_{2},v_{3}}$ , nếu

$\mathbf{v_{1}}=\begin{bmatrix}1\\-1\\-2\end{bmatrix},\quad\mathbf{v_{2}}=\begin{bmatrix}5\\-4\\-7\end{bmatrix},\quad\mathbf{v_{3}}=\begin{bmatrix}-3\\1\\0\end{bmatrix},\quad\mathbf{y}=\begin{bmatrix}-4\\3\\h\end{bmatrix}$

Mặc dù nhiều không gian vector trong chương này là không gian con của $\mathbb{R}^n$ , nhưng cần nhớ rằng lý thuyết tổng quát cũng áp dụng cho các không gian vector khác. Đặc biệt, không gian vector của các hàm số xuất hiện trong nhiều ứng dụng và sẽ được đề cập nhiều hơn ở các phần sau.

Không Gian Con Được Sinh Bởi Một Tập Hợp

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 2: Không gian con

Lesson Attachments

Không Gian Con Được Sinh Bởi Một Tập Hợp

Để lại một bình luận Hủy