Bài giảng 5: Không gian hàng

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Nếu $A$ là một ma trận $m\times n$ , mỗi hàng của $A$ có $n$ phần tử và do đó có thể được xác định là một vectơ trong $\mathbb{R}^n$ . Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ hàng được gọi là không gian hàng của $A$ và được ký hiệu là $\text{Row}\:A$ . Mỗi hàng có $n$ phần tử, vì vậy $\text{Row}\:A$ là một không gian con của $\mathbb{R}^n$ . Vì các hàng của $A$ tương ứng với các cột của $A^T$ , ta cũng có thể viết $\text{Col}\:A^T$ thay cho $\text{Row}\:A$ .

Ví dụ 5: Cho

$A=\begin{matrix}\begin{bmatrix}-2&-5&8&0&-17\\1&3&-5&1&5\\3&11&-19&7&1\\1&7&-13&5&-3\\\end{bmatrix},\qquad&\begin{matrix}\mathbf{r_{1}}=&(-2,-5,8,0,-17)\\\mathbf{r_{2}}=&(1,3,-5,1,5)\\\mathbf{r_{3}}=&(3,11,-19,7,1)\\\mathbf{r_{4}}=&(1,7,-13,5,-3)\\\end{matrix}\\\end{matrix}$

Không gian hàng của $A$ là không gian con của $\mathbb{R}^5$ được tạo bởi tập hợp các vectơ $\{\mathbf{r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}}\}.$ Nghĩa là: $\text{Row}\:A=\text{Span}\:\{\mathbf{r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}}\}.$ Thông thường, các vectơ hàng được viết theo chiều ngang; tuy nhiên, chúng cũng có thể được viết dưới dạng vectơ cột nếu thuận tiện hơn.

Sự Tương Phản Giữa $\text{Nul}\:A$ và $\text{Col}\:A^T$

Sự Tương Phản Giữa $\text{Nul}\:A$ và $\text{Col}A$

Thật tự nhiên khi thắc mắc về mối quan hệ giữa không gian null và không gian cột của một ma trận. Trên thực tế, hai không gian này khá khác biệt, như các ví dụ 6–8 sẽ minh họa. Tuy nhiên, một mối liên hệ bất ngờ giữa không gian null và không gian cột sẽ xuất hiện trong bài tiếp theo, sau khi có thêm lý thuyết hỗ trợ.

Ví dụ 6 Cho ma trận

$A=\begin{bmatrix}2&4&-2&1\\-2&-5&7&3\\3&7&-8&6\\\end{bmatrix}$

a) Nếu không gian cột của $A$ là một không gian con của $\mathbb{R}^k$ , thì $k$ bằng bao nhiêu?

b) Nếu không gian null của $A$ là một không gian con của $\mathbb{R}^k$ , thì $k$ bằng bao nhiêu?

Giải:

a) Mỗi cột của $A$ có ba phần tử, do đó $\text{Col}A$ là một không gian con của $\mathbb{R}^k$ , với $k=3$ .

b) Một vectơ $\mathbf{x}$ sao cho $A\mathbf{x}$ được xác định phải có bốn phần tử, nên $\text{Nul}\:A$ là một không gian con của $\mathbb{R}^k$ , với $k=4$ .

Khi một ma trận không phải là ma trận vuông, như trong ví dụ 6, các vectơ trong $\text{Nul}\:A$ và $\text{Col}\:A$ thuộc về hai “thế giới” hoàn toàn khác nhau. Ví dụ, không có tổ hợp tuyến tính nào của các vectơ trong $\mathbb{R}^3$ có thể tạo ra một vectơ trong $\mathbb{R}^4$ . Khi $A$ là một ma trận vuông, $\text{Nul}\:A$ và $\text{Col}\:A$ có vectơ không chung, và trong một số trường hợp đặc biệt, có thể tồn tại một số vectơ khác 0 thuộc cả $\text{Nul}\:A$ và $\text{Col}\:A$ .

Ví dụ 7: Với ma trận $A$ như trong ví dụ 6, hãy tìm một vectơ khác 0 trong $\text{Col}\:A$ và một vectơ khác 0 trong $\text{Nul}\:A$ .

Giải: Dễ dàng tìm được một vectơ trong $\text{Col}\:A$ . Bất kỳ cột nào của $A$ đều có thể được chọn, chẳng hạn: $\begin{bmatrix}2\\-2\\3\end{bmatrix}$ .

Để tìm một vectơ khác 0 trong $\text{Nul}\:A$ , ta thực hiện phép khử hàng trên ma trận mở rộng $\begin{bmatrix}A&\mathbf{0}\\\end{bmatrix}$ và thu được:

$\begin{bmatrix}A&\mathbf{0}\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&0&9&0&0\\0&1&-5&0&0\\0&0&0&1&0\\\end{bmatrix}$

Như vậy, nếu $\mathbf{x}$ thỏa mãn $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ , thì: $x_1=-9x_3,\:x_2=5x_3,\:x_4=0$ , và $x_3$ là biến tự do.

Gán một giá trị khác 0 cho $x_3$ , chẳng hạn $x_3=1$ , ta thu được một vectơ trong $\text{Nul}\:A$ : $\mathbf{x}=(-9,5,1,0)$

Ví dụ 8: Với ma trận $A$ như trong ví dụ 6, cho $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}3\\-2\\-1\\0\end{bmatrix}$ và $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}3\\-1\\3\end{bmatrix}$ .

a) Xác định xem $\mathbf{u}$ có thuộc $\text{Nul}\:A$ không. Liệu $\mathbf{u}$ có thể thuộc $\text{Col}\:A$ không?

b) Xác định xem $\mathbf{v}$ có thuộc $\text{Col}\:A$ không. Liệu $\mathbf{v}$ có thể thuộc $\text{Nul}\:A$ không?

Giải

a) Không cần mô tả rõ ràng $\text{Nul}\:A$ . Chỉ cần tính tích $A\mathbf{u}$ .

$A\mathbf{u}=\begin{bmatrix}2&4&-2&1\\-2&-5&7&3\\3&7&-8&6\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\-2\\-1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-3\\3\end{bmatrix}\neq\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$

Rõ ràng, $\mathbf{u}$ không phải là nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ , nên $\mathbf{u}$ không thuộc $\text{Nul}\:A$ . Ngoài ra, vì $\mathbf{u}$ có bốn phần tử, nên nó không thể thuộc $\text{Col}\:A$ , do $\text{Col}\:A$ là một không gian con của $\mathbb{R}^3$ .

b) Thực hiện phép khử hàng trên $\begin{bmatrix}A&\mathbf{v}\\\end{bmatrix}$ để đưa về dạng bậc thang.

$\begin{bmatrix}A&\mathbf{v}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&4&-2&1&3\\-2&-5&7&3&-1\\3&7&-8&6&3\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}2&4&-2&1&3\\0&1&-5&-4&-2\\0&0&0&17&1\\\end{bmatrix}$

Tại bước này, rõ ràng phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{v}$ có nghiệm, nên $\mathbf{v}$ thuộc $\text{Col}\:A$ . Vì $\mathbf{v}$ chỉ có ba phần tử, nó không thể thuộc $\text{Nul}\:A$ , do $\text{Nul}\:A$ là một không gian con của $\mathbb{R}^4$ .

Sự Tương Phản Giữa $\text{Nul}\:A$ và $\text{Col}\:A^T$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 5: Không gian hàng

Lesson Attachments

Sự Tương Phản Giữa và

Để lại một bình luận Hủy

Sự Tương Phản Giữa $\text{Nul}\:A$ và $\text{Col}\:A^T$