Bài giảng 18: Chuyển đổi hệ cơ sở trong $\mathbb{R}^n$

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Nếu $\ss=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\}$ và $E$ là cơ sở tiêu chuẩn $\{\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\}\in\mathbb{R}^{2}$ , thì $[\mathbf{b}_1]_E=\mathbf{b}_1$ , và tương tự cho các vector khác trong $\ss$ . Trong trường hợp này, $E\overset{P}{\leftarrow}\ss$ chính là ma trận chuyển đổi tọa độ $P_{\ss}$ , cụ thể:

$P_{\ss}=\begin{bmatrix}\mathbf{b_{1}}&\mathbf{b_{2}}&\cdots&\mathbf{b_{n}}\\\end{bmatrix}$

Để chuyển đổi tọa độ giữa hai cơ sở không tiêu chuẩn trong $\mathbb{R}^n$ , ta cần sử dụng Định lý 15. Định lý này chỉ ra rằng để giải quyết bài toán chuyển đổi hệ cơ sở, ta cần biết các vector tọa độ của cơ sở cũ theo cơ sở mới.

Ví dụ 2: Xét các vector $\mathbf{b_{1}}=\begin{bmatrix}-9\\1\end{bmatrix},\:\mathbf{b_{2}}=\begin{bmatrix}-5\\-1\end{bmatrix},\:\mathbf{c_{1}}=\begin{bmatrix}1\\-4\end{bmatrix},\:\mathbf{c_{2}}=\begin{bmatrix}3\\-5\end{bmatrix}$ và các hệ cơ sở của $\mathbb{R}^2$ được cho bởi $\ss=\{\mathbf{b_1,b_2}\}$ và $C=\{\mathbf{c_1,c_2}\}$ . Hãy tìm ma trận chuyển đổi tọa độ từ $\ss$ sang $C$ .

Giải Ma trận cần tìm bao gồm các vector tọa độ của $\mathbf{b_1}$ và $\mathbf{b_2}$ theo hệ cơ sở $C$ .

Đặt $[\mathbf{b_1}]_{C}=\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}$ và $[\mathbf{b_2}]_{C}=\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}$ . Khi đó, theo định nghĩa

$\begin{bmatrix}\mathbf{c_{1}}&\mathbf{c_{2}}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}=\mathbf{b_1};\qquad\begin{bmatrix}\mathbf{c_{1}}&\mathbf{c_{2}}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}=\mathbf{b_2}$

Để giải đồng thời cả hai hệ phương trình, ta mở rộng ma trận hệ số với các vector $\mathbf{b_1}$ và $\mathbf{b_2}$ , rồi thực hiện phép khử Gauss:

Do đó

$[\mathbf{b_1}]_{C}=\begin{bmatrix}6\\-5\end{bmatrix},\qquad[\mathbf{b_2}]_{C}=\begin{bmatrix}4\\-3\end{bmatrix}$

Do đó, ma trận chuyển đổi tọa độ mong muốn là:

$C\overset{P}{\leftarrow}\ss=\begin{bmatrix}[\mathbf{b_1}]_{C}&[\mathbf{b_2}]_{C}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&4\\-5&-3\\\end{bmatrix}$

Ta có thể nhận thấy rằng ma trận $C\overset{P}{\leftarrow}\ss$ trong ví dụ 2 đã xuất hiện trong phương trình (7). Điều này không có gì đáng ngạc nhiên, vì cột đầu tiên của $C\overset{P}{\leftarrow}\ss$ thu được từ phép khử hàng trên ma trận $[\mathbf{c}_1\quad\mathbf{c}_2\:\vdots\:\mathbf{b}_1]$ về dạng $[I\:\vdots\:[b_1]_C]$ , và tương tự đối với cột thứ hai. Do đó

Một quy trình tương tự có thể được áp dụng để tìm ma trận chuyển đổi tọa độ giữa bất kỳ hai hệ cơ sở nào trong $\mathbb{R}^n$ .

Ví dụ 3: Xét các vector $\mathbf{b_{1}}=\begin{bmatrix}1\\-3\end{bmatrix},\:\mathbf{b_{2}}=\begin{bmatrix}-2\\4\end{bmatrix},\:\mathbf{c_{1}}=\begin{bmatrix}-7\\9\end{bmatrix},\:\mathbf{c_{2}}=\begin{bmatrix}-5\\7\end{bmatrix}$ và các hệ cơ sở của $\mathbb{R}^2$ được cho bởi $\ss=\{\mathbf{b_1,b_2}\}$ và $C=\{\mathbf{c_1,c_2}\}$ .

a) Tìm ma trận chuyển đổi tọa độ từ $C$ sang $\ss$ .

b) Tìm ma trận chuyển đổi tọa độ từ $\ss$ sang $C$ .

Giải:

a) Ta cần tính $\ss\overset{P}{\leftarrow}C$ thay vì $\ss\overset{P}{\leftarrow}C$ . Ta thực hiện phép tính:

Vậy

$\ss\overset{P}{\leftarrow}C=\begin{bmatrix}5&3\\6&4\\\end{bmatrix}$

b) Từ phần (a) và sử dụng tính chất (6) (với $\ss$ và $C$ hoán đổi), ta có:

$C\overset{P}{\leftarrow}{\ss}=(\ss\overset{P}{\leftarrow}C)^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4&-3\\-6&5\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-3/2\\-3&5/2\\\end{bmatrix}$

Một cách khác để xác định ma trận chuyển đổi tọa độ $C\overset{P}{\leftarrow}{\ss}$ là sử dụng các ma trận $P_{\ss}$ và $P_C$ , vốn chuyển tọa độ từ hệ cơ sở $\ss$ và $C$ sang tọa độ chuẩn.

Nhắc lại rằng với mọi $\mathbf{x}$ trong $\mathbb{R}^n$ :

$P_{\ss}[\mathbf{x}]_{\ss}=\mathbf{x},\quad P_C[\mathbf{x}]_C=\mathbf{x},\quad[\mathbf{x}]_C=P_{C}^{-1}\mathbf{x}$

Do đó

$[\mathbf{x}]_C=P_{C}^{-1}\mathbf{x}=P_{C}^{-1}P_{\ss}[\mathbf{x}]_{\ss}$

Trong Rn\mathbb{R}^n, ma trận chuyển đổi tọa độ PP có thể được tính bằng $P_{C}^{-1}P_{\ss}$ . Trên thực tế, đối với các ma trận có kích thước lớn hơn $2\times 2$ , một thuật toán tương tự như trong ví dụ 3 sẽ nhanh hơn so với việc tính $P_{C}^{-1}$ rồi nhân với $P_{\ss}$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 18: Chuyển đổi hệ cơ sở trong

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy

Bài giảng 18: Chuyển đổi hệ cơ sở trong $\mathbb{R}^n$