Bài giảng 16: Hạng và Định lý Ma trận Khả nghịch

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Các khái niệm về không gian vectơ liên quan đến một ma trận cung cấp thêm nhiều phát biểu cho Định lý Ma trận Khả nghịch. Các phát biểu mới được liệt kê dưới đây bổ sung cho những phát biểu trong Định lý Ma trận Khả nghịch ban đầu.

Định lý (Tiếp tục Định lý Ma trận Khả nghịch)

Cho  là một ma trận . Khi đó, các phát biểu sau đây đều tương đương với phát biểu rằng  là một ma trận khả nghịch:
m. Các cột của  tạo thành một cơ sở của .
n. Col .
o. rank .
p. nullity .
q. Nul .

Chứng minh Phát biểu (m) tương đương về mặt logic với các phát biểu (e) và (h) liên quan đến độc lập tuyến tính và sự sinh ra không gian. Các phát biểu còn lại được liên kết với nhau qua chuỗi các hệ quả hiển nhiên sau:

$(g)\Rightarrow(n)\Rightarrow(o)\Rightarrow(p)\Rightarrow(q)\Rightarrow(d)$

Phát biểu (g) khẳng định rằng phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có ít nhất một nghiệm với mọi $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n$ , điều này kéo theo (n), vì Col $A$ chính là tập hợp tất cả các $\mathbf{b}$ sao cho phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có nghiệm. Hệ quả $(n)\Rightarrow(o)$ xuất phát từ định nghĩa về số chiều và hạng. Nếu rank $A=n$ , tức là bằng số cột của $A$ , thì theo Định lý Rank, nullity $A=0$ , và do đó Nul $A=\{0\}$ . Vì vậy, $(o)\Rightarrow(p)\Rightarrow(q)$ .

Ngoài ra, (q) cho thấy phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ chỉ có nghiệm tầm thường, điều này tương đương với phát biểu (d). Vì các phát biểu (d) và (g) đã được chứng minh là tương đương với việc $A$ khả nghịch, nên chứng minh hoàn tất.

Chúng tôi không bổ sung vào Định lý Ma trận Khả nghịch những phát biểu hiển nhiên về không gian hàng của $A$ , bởi vì không gian hàng của $A$ chính là không gian cột của $A^T$ . Nhớ lại từ phát biểu (1) trong Định lý Ma trận Khả nghịch rằng $A$ khả nghịch khi và chỉ khi $A^T$ cũng khả nghịch. Do đó, mọi phát biểu trong Định lý Ma trận Khả nghịch đều có thể được viết lại cho $A^T$ . Nếu làm vậy, danh sách định lý sẽ tăng gấp đôi và có hơn 30 phát biểu!

Ghi chú về Số học

Nhiều thuật toán được đề cập trong sách này hữu ích để hiểu khái niệm và thực hiện tính toán đơn giản bằng tay. Tuy nhiên, những thuật toán này thường không phù hợp với các bài toán quy mô lớn trong thực tế.

Xác định hạng là một ví dụ điển hình. Thoạt nhìn, có vẻ đơn giản để đưa một ma trận về dạng bậc thang và đếm số vị trí chốt. Nhưng trừ khi các phép toán số học được thực hiện chính xác trên một ma trận với các phần tử được xác định chính xác, các phép biến đổi hàng có thể làm thay đổi hạng của ma trận. Ví dụ, nếu giá trị của $x$ trong ma trận $\begin{bmatrix}5&7\\5&x\\\end{bmatrix}$ không được lưu trữ chính xác là 7 trong máy tính, thì hạng của ma trận có thể là 1 hoặc 2, tùy thuộc vào việc máy tính có coi $x-7$ là bằng 0 hay không.

Trong các ứng dụng thực tế, hạng hiệu dụng của một ma trận $A$ thường được xác định từ phân rã giá trị kỳ dị (SVD – Singular Value Decomposition) của $A$ , nội dung này sẽ được thảo luận trong bài sau. Phân rã này cũng là một nguồn đáng tin cậy để tìm cơ sở cho Col $A$ , Row $A$ , Nul $A$ , và Nul $A^T$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 16: Hạng và Định lý Ma trận Khả nghịch

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy