Bài giảng 11: Diễn Giải Đồ Họa của Tọa Độ

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Một hệ tọa độ trên một tập hợp bao gồm một ánh xạ một – một từ các điểm trong tập hợp đó vào $\mathbb{R}^n$ . Ví dụ, giấy đồ thị thông thường cung cấp một hệ tọa độ cho mặt phẳng khi ta chọn các trục vuông góc và đơn vị đo trên mỗi trục.

Hình 1 minh họa cơ sở tiêu chuẩn $\{\mathbf{e_1,e_2}\}$ , cùng với các vector $\mathbf{b_{1}}(=\mathbf{e_1})$ và $\mathbf{b_{2}}$ từ ví dụ 1 và vector $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1\\6\end{bmatrix}$ .

Tọa độ (1,6) xác định vị trí của $\mathbf{x}$ theo cơ sở tiêu chuẩn, tức là:

$\mathbf{x}$ di chuyển 1 đơn vị theo hướng $\mathbf{e_1}$
$\mathbf{x}$ di chuyển 6 đơn vị theo hướng $\mathbf{e_2}$

Hình 2 minh họa các vector $\mathbf{b_1,b_2}$ và $\mathbf{x}$ từ hình 1. Về mặt hình học, ba vector này nằm trên cùng một đường thẳng đứng trong cả hai hình. Tuy nhiên, lưới tọa độ tiêu chuẩn đã bị xóa và thay thế bằng một lưới được thiết lập đặc biệt theo cơ sở $\ss$ trong ví dụ 1. Vector tọa độ $\left[\mathbf{x}\right]_{\ss}=\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}$ xác định vị trí của $\mathbf{x}$ trên hệ tọa độ mới này:

$\mathbf{x}$ di chuyển -2 đơn vị theo hướng $\mathbf{b_1}$
$\mathbf{x}$ di chuyển 3 đơn vị theo hướng $\mathbf{b_1}$

Hình 1: Giấy đồ thị tiêu chuẩn.

Hình 2: Giấy đồ thị theo hệ cơ sở $\ss$ .

Ví dụ 3: Ứng Dụng trong Tinh Thể Học

Trong tinh thể học, mô tả một mạng tinh thể được hỗ trợ bằng cách chọn một cơ sở $\{\mathbf{{u,v,w}\}}$ cho $\mathbb{R}^3$ , tương ứng với ba cạnh liền kề của một ô đơn vị của tinh thể. Toàn bộ mạng tinh thể được xây dựng bằng cách sắp xếp nhiều bản sao của một ô đơn vị. Có mười bốn loại ô đơn vị cơ bản, trong đó ba loại được hiển thị trong hình 3.