Bài giảng 14: Số chiều của một không gian vector

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Định lý 9 đã chỉ ra rằng một không gian vector $V$ với một cơ sở $\ss$ chứa $n$ vector là đẳng cấu với $\mathbb{R}^n$ . Phần này cho thấy rằng số $n$ này là một thuộc tính nội tại (gọi là số chiều) của không gian $V$ và không phụ thuộc vào lựa chọn cụ thể của cơ sở. Việc thảo luận về số chiều sẽ cung cấp cái nhìn sâu hơn về các tính chất của cơ sở.

Định lý đầu tiên dưới đây tổng quát hóa một kết quả quen thuộc về không gian vector $\mathbb{R}^n$ .

Định lý 10

Nếu một không gian vector  có một cơ sở [, thì bất kỳ tập hợp nào trong  chứa nhiều hơn  vector đều phải phụ thuộc tuyến tính.

Chứng minh: Giả sử $\{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p\}$ là một tập hợp trong $V$ với số vector nhiều hơn $n$ . Khi đó, các vector tọa độ $[\mathbf{u}_1]_{\ss},\dots,[\mathbf{u}_p]_{\ss}$ tạo thành một tập hợp phụ thuộc tuyến tính trong $\mathbb{R}^n$ , vì số vector $p$ nhiều hơn số phần tử $n$ trong mỗi vector. Do đó, tồn tại các vô hướng $c_1,\dots,c_p$ , không phải tất cả đều bằng 0, sao cho:

$c_{1}[\mathbf{u}_1]_{\ss}+\cdots+c_{p}[\mathbf{u}_p]_{\ss}=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\end{bmatrix}$ Vector không trong $\mathbb{R}^n$ .

Vì ánh xạ tọa độ là một phép biến đổi tuyến tính, ta có:

$[c_{1}\mathbf{u}_1+\cdots+c_{p}\mathbf{u}_p]_{\ss}=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\end{bmatrix}$

Vector 0 ở vế phải biểu diễn tổ hợp tuyến tính của các vector trong cơ sở $\ss$ với tất cả các hệ số bằng 0, tức là: $c_1\mathbf{u}_1+\dots+c_p\mathbf{u}_p=0\mathbf{b}_1+\dots+0\mathbf{b}_n=0$

Do $c_i$ không phải tất cả đều bằng 0, tập hợp $\{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p\}$ là phụ thuộc tuyến tính.

Hệ quả từ định lý 10 là: Nếu một không gian vector $V$ có một cơ sở $\ss=\{\mathbf{b_{1}},...,\mathbf{b_{n}}\}$ , thì mọi tập hợp độc lập tuyến tính trong $V$ không thể có nhiều hơn $n$ vector.

Định lý 11

Nếu một không gian vector  có một cơ sở gồm  vector, thì mọi cơ sở của  đều phải chứa chính xác  vector.

Chứng minh: Gọi $\ss _1$ là một cơ sở gồm $n$ vector và $\ss _2$ là một cơ sở bất kỳ khác của $V$ .

Vì $\ss _1$ là một cơ sở và $\ss _2$ là một tập hợp độc lập tuyến tính, theo định lý 10, tập $\ss _2$ không thể có nhiều hơn $n$ vector.
Đồng thời, vì $\ss _2$ cũng là một cơ sở và $\ss _1$ là một tập hợp độc lập tuyến tính, nên $\ss _2$ phải có ít nhất $n$ vector.

Từ đó suy ra rằng $\ss _2$ có chính xác $n$ vector.

Nếu một không gian vector $V$ khác không được sinh bởi một tập hữu hạn $S$ , thì theo Định lý Tập sinh, một tập con của $S$ sẽ là một cơ sở cho $V$ . Trong trường hợp này, định lý 11 đảm bảo rằng định nghĩa sau đây có ý nghĩa.

Định nghĩa

Nếu một không gian vector  được sinh bởi một tập hữu hạn, thì  được gọi là hữu hạn chiều, và số chiều của , ký hiệu là , là số vector trong một cơ sở của . Số chiều của không gian vector không  được định nghĩa là . Nếu  không được sinh bởi một tập hữu hạn, thì  được gọi là vô hạn chiều.

Ví dụ 1: Cơ sở tiêu chuẩn của $\mathbb{R}^n$ chứa $n$ vector, do đó $\dim\mathbb{R}^n=n$ .

Cơ sở đa thức tiêu chuẩn $\{1,t,t^2\}$ cho thấy $\dim\mathbb{P}_2=3$ . Nói chung, $\dim\mathbb{P}_n=n+1$ . Không gian $\mathbb{P}$ của tất cả các đa thức là một không gian vô hạn chiều.

Ví dụ 2: Gọi $H=\text{Span}\,\{\mathbf{v_1,v_2}\}$ , trong đó $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}3\\6\\2\end{bmatrix}$ và $\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}$ là hai vector độc lập tuyến tính. Khi đó, $H$ là mặt phẳng đã được nghiên cứu trong ví dụ 7 ở bài trước. Một cơ sở của $H$ là $\{\mathbf{v_1,v_2}\}$ , vì $\mathbf{v_1}$ và $\mathbf{v_2}$ không phải bội số của nhau và do đó độc lập tuyến tính. Vậy $\dim H=2$ .

Ví dụ 3: Tìm số chiều của không gian con

$H=\left\{\begin{matrix}\begin{bmatrix}a-3b+6c\\5a+4d\\b-2c-d\\5d\end{bmatrix}&:a,b,c,d\in\mathbb{R}\\\end{matrix}\right\}$

Giải: Ta dễ dàng thấy rằng $H$ là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vector

$\mathbf{v_{1}}=\begin{bmatrix}1\\5\\0\\0\end{bmatrix},\quad\mathbf{v_{2}}=\begin{bmatrix}-3\\0\\1\\0\end{bmatrix},\quad\mathbf{v_{3}}=\begin{bmatrix}6\\0\\-2\\0\end{bmatrix},\quad\mathbf{v_{4}}=\begin{bmatrix}0\\4\\-1\\5\end{bmatrix}$

Rõ ràng, $\mathbf{v}_1\neq 0$ , $\mathbf{v}_2$ không phải là bội số của $\mathbf{v}_1$ , nhưng $\mathbf{v}_3$ là bội số của $\mathbf{v}_2$ . Theo Định lý Tập sinh, ta có thể loại bỏ $\mathbf{v}_3$ mà vẫn giữ được tập sinh ra $H$ . Cuối cùng, $\mathbf{v}_4$ không phải là tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ . Vậy tập $\{\mathbf{v_1,v_2,v_4}\}$ là một tập độc lập tuyến tính và do đó là một cơ sở của $H$ . Suy ra, $\dim H=3$ .

Ví dụ 4: Phân loại các không gian con của $\mathbb{R}^3$ theo số chiều. Xem hình 1.

Không gian con có số chiều 0: Chỉ có không gian con không chứa gì ngoài vector không.
Không gian con có số chiều 1: Bất kỳ không gian con nào được sinh bởi một vector khác không. Các không gian này là các đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
Không gian con có số chiều 2: Bất kỳ không gian con nào được sinh bởi hai vector độc lập tuyến tính. Các không gian này là các mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.
Không gian con có số chiều 3: Chỉ có $\mathbb{R}^3$ chính nó. Mọi tập gồm ba vector độc lập tuyến tính trong $\mathbb{R}^3$ đều sinh ra toàn bộ $\mathbb{R}^3$ , theo Định lý Ma trận Khả nghịch.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 14: Số chiều của một không gian vector

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy