Bài giảng 20: Biến đổi tuyến tính bất biến theo thời gian

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Các biến đổi tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI) được sử dụng để xử lý tín hiệu. Một dạng xử lý là tạo ra tín hiệu khi cần thiết thay vì sử dụng không gian lưu trữ để lưu trữ các tín hiệu đó.

Để mô tả cơ sở tiêu chuẩn cho $\mathbb{R}^n$ , ta liệt kê $n$ vector $e_1,e_2,\dots,e_n$ , trong đó $e_j$ có giá trị bằng 1 tại vị trí thứ $j$ và bằng 0 ở các vị trí khác. Trong ví dụ 1 dưới đây, tín hiệu tương tự với mỗi $e_j$ có thể được tạo ra bằng cách lặp lại phép dịch chuyển LTI lên một tín hiệu duy nhất, đó là $\delta$ trong bảng 1 của bài trước.

Ví dụ 1: Gọi $S$ là phép biến đổi dịch chuyển mỗi phần tử trong một tín hiệu sang phải, cụ thể: $S(\{x_k\})=\{y_k\}$ , trong đó $y_k=x_{k-1}.$

Để đơn giản hóa ký hiệu, ta viết: $S(\{x_k\})=\{x_{k-1}\}.$

Để dịch chuyển tín hiệu sang trái, ta xem xét: $S^{-1}(\{x_k\})=\{x_{k+1}\}.$

Chú ý rằng: $S^{-1}S(\{x_k\})=S^{-1}(\{x_{k-1}\})=\{x_{(k-1)+1}\}=\{x_k\}.$

Dễ dàng kiểm tra rằng $S^{-1}S=S S^{-1}=S^0=I$ , tức là phép biến đổi đồng nhất, do đó $S$ là một phép biến đổi khả nghịch.

Bảng 2 minh họa tác động của việc lặp lại $S$ và $S^{-1}$ lên tín hiệu delta, và các tín hiệu thu được có thể được trực quan hóa bằng hình 2.

Bảng 2: Ứng dụng phép dịch tín hiệu

$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$S^{-2}(\delta)$	$(...,1,0,0,0,0,...)$	$\{w_{k}\}$ , trong đó $w_{k}=\left\{\begin{matrix}1\:\text{khi}\:k=-2\\0\:\text{khi}\:k\neq-2\end{matrix}\right.$
$S^{-1}(\delta)$	$(...,0,1,0,0,0,...)$	$\{x_{k}\}$ , trong đó $x_{k}=\left\{\begin{matrix}1\:\text{khi}\:k=-1\\0\:\text{khi}\:k\neq-1\end{matrix}\right.$
$(\delta)$	$(...,0,0,1,0,0,...)$	$\{d_{k}\}$ , trong đó $y_{k}=\left\{\begin{matrix}1\:\text{khi}\:k=0\\0\:\text{khi}\:k\neq 0\end{matrix}\right.$
$S^{1}(\delta)$	$(...,0,0,0,1,0,...)$	$\{y_{k}\}$ , trong đó $y_{k}=\left\{\begin{matrix}1\:\text{khi}\:k=1\\0\:\text{khi}\:k\neq 1\end{matrix}\right.$
$S^{2}(\delta)$	$(...,0,0,0,0,1,...)$	$\{z_{k}\}$ , trong đó $y_{k}=\left\{\begin{matrix}1\:\text{khi}\:k=2\\0\:\text{khi}\:k\neq 2\end{matrix}\right.$
$\vdots$	$\begin{matrix}\uparrow\\k=0\end{matrix}$	$\vdots$

Lưu ý rằng $S$ thỏa mãn các tính chất của một phép biến đổi tuyến tính. Cụ thể, với bất kỳ số vô hướng $c$ và các tín hiệu $\{x_k\}$ và $\{y_k\}$ , khi áp dụng $S$ , ta có: $S(\{x_k\}+\{y_k\})=\{x_{k-1}+y_{k-1}\}=\{x_{k-1}\}+\{y_{k-1}\}=S(\{x_k\})+S(\{y_k\})$ và $S(c\{x_k\})=\{c x_{k-1}\}=c S(\{x_k\})$ . Hàm ánh xạ $S$ còn có một tính chất bổ sung. Lưu ý rằng với mọi số nguyên $q$ , ta có:

Tính chất này có thể được hiểu là tính bất biến theo thời gian. Các phép biến đổi có cùng tính chất với $S$ được gọi là biến đổi tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI – Linear Time Invariant Transformations).

Định nghĩa Biến đổi tuyến tính bất biến theo thời gian

Một phép biến đổi  được gọi là tuyến tính bất biến theo thời gian nếu thỏa mãn:

i. Tuyến tính:
 với mọi tín hiệu  và ;
ii. Tính chất đồng nhất theo vô hướng:
 với mọi số vô hướng  và tín hiệu ;
iii. Tính bất biến theo thời gian:
Nếu  thì  với mọi số nguyên  và tín hiệu .

Hai tính chất đầu tiên trong định nghĩa của các biến đổi tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI) giống với hai tính chất được liệt kê trong định nghĩa của một biến đổi tuyến tính, dẫn đến định lý sau:

Định lý 16 Biến đổi LTI là một dạng đặc biệt của biến đổi tuyến tính
Mọi biến đổi tuyến tính bất biến theo thời gian trên không gian tín hiệu  đều là một biến đổi tuyến tính đặc biệt.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 20: Biến đổi tuyến tính bất biến theo thời gian

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy