Bài giảng 15: Các không gian con của một không gian hữu hạn chiều

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Định lý tiếp theo là một hệ quả tự nhiên của Định lý Tập sinh.

Định lý 12

Cho  là một không gian con của một không gian vectơ hữu hạn chiều . Bất kỳ tập hợp độc lập tuyến tính nào trong  có thể được mở rộng (nếu cần) thành một cơ sở của v. Ngoài ra,  là không gian hữu hạn chiều và

Chứng minh Nếu $H=\{0\}$ , thì rõ ràng $\dim H=0\leq\dim V$ . Ngược lại, giả sử $S=\{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_k\}$ là một tập hợp độc lập tuyến tính trong $H$ . Nếu $S$ sinh $H$ , thì $S$ là một cơ sở của $H$ . Nếu không, tồn tại một phần tử $\mathbf{u}_{k+1}$ trong $H$ nhưng không thuộc Span $S$ . Khi đó, tập $\{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_k,\mathbf{u}_{k+1}\}$ vẫn là một tập hợp độc lập tuyến tính, vì không có vectơ nào trong tập này có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ đứng trước nó.

Miễn là tập hợp mở rộng vẫn chưa sinh ra toàn bộ $H$ , ta có thể tiếp tục thêm các vectơ mới. Tuy nhiên, số lượng vectơ trong tập mở rộng không bao giờ vượt quá số chiều của $V$ . Do đó, quá trình mở rộng cuối cùng sẽ dừng lại khi tập hợp mới sinh ra toàn bộ $H$ , tạo thành một cơ sở của $H$ , và ta có: $\dim H\leq\dim V$ .

Khi biết số chiều của một không gian vectơ hoặc không gian con, việc tìm một cơ sở trở nên đơn giản hơn nhờ định lý tiếp theo. Nó cho biết nếu một tập hợp có số phần tử đúng, thì ta chỉ cần kiểm tra tính độc lập tuyến tính hoặc tính sinh của tập hợp để xác định đó có phải là cơ sở hay không. Định lý này có ý nghĩa quan trọng trong nhiều bài toán ứng dụng (chẳng hạn trong phương trình vi phân hoặc phương trình sai phân), nơi mà kiểm tra tính độc lập tuyến tính thường dễ hơn kiểm tra tính sinh.

Định lý 13 - Định lý Cơ sở

Cho  là một không gian vectơ có số chiều  với . Khi đó:

• Bất kỳ tập hợp độc lập tuyến tính nào gồm đúng  phần tử trong  tự động là một cơ sở của .
• Bất kỳ tập hợp nào gồm đúng  phần tử và sinh  tự động là một cơ sở của .

Chứng minh Theo định lý 12, một tập hợp độc lập tuyến tính $S$ gồm $p$ phần tử có thể được mở rộng thành một cơ sở của $V$ . Tuy nhiên, cơ sở của $V$ phải chứa đúng $p$ phần tử, vì $\dim V=p$ . Do đó, $S$ đã là một cơ sở của $V$ . Bây giờ, giả sử $S$ có $p$ phần tử và sinh $V$ . Vì $V$ không phải là không gian vectơ không, Định lý Tập sinh suy ra rằng tồn tại một tập con $S'$ của $S$ là cơ sở của $V$ . Do $\dim V=p$ , tập $S'$ phải chứa đúng $p$ vectơ. Vì $S$ cũng có $p$ phần tử, ta kết luận rằng $S=S'$ , tức là $S$ đã là một cơ sở của $V$ .

Số chiều của Null A, Col A và Row A

Vì số chiều của không gian null và không gian cột của ma trận $m\times n$ thường được sử dụng, chúng có các tên gọi riêng như sau:

Định nghĩa

• Hạng (rank) của một ma trận  là số chiều của không gian cột (Col ).
• Số vô hiệu của  là số chiều của không gian Nul .

Các cột trụ của một ma trận $A$ tạo thành một cơ sở cho Col $A$ , vì vậy hạng của $A$ chính là số cột trụ.

Tương tự, số chiều của Row $A$ cũng bằng hạng của $A$ vì cơ sở cho Row $A$ có thể được tìm thấy bằng cách lấy các hàng trụ từ dạng bậc thang rút gọn của $A$ . Việc xác định số vô hiệu (nullity) của $A$ có vẻ phức tạp hơn vì tìm cơ sở cho Nul $A$ thường mất nhiều thời gian hơn so với Col $A$ . Tuy nhiên, có một cách ngắn gọn: Cho ma trận $m\times n\:A$ , giả sử phương trình $A\mathbf{x}=0$ có $k$ biến tự do. Từ kiến thức trong bài trước, phương pháp chuẩn để tìm một tập sinh cho Nul $A$ sẽ tạo ra đúng $k$ vectơ độc lập tuyến tính – ký hiệu là $\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_k$ , mỗi vectơ tương ứng với một biến tự do. Như vậy, $\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_k$ tạo thành một cơ sở cho Nul $A$ , và số lượng biến tự do xác định kích thước của cơ sở này.

Tóm tắt

Hạng của ma trận $A$ : Số cột trụ.
Số vô hiệu của ma trận $A$ : Số biến tự do.
Số chiều của không gian hàng : Số hàng trụ, cũng chính là hạng của $A$ .

Tất cả những quan sát trên dẫn đến Định lý hạng (Rank Theorem).

Định lý 14: Định lý Hạng

Số chiều của không gian cột (column space) và không gian null (null space) của một ma trận m×nm \times n AA thỏa mãn phương trình:

Chứng minh Theo Định lý 6, hạng của $A$ chính là số cột trụ (pivot columns) trong $A$ . Số vô hiệu của $A$ chính là số biến tự do trong phương trình $A\mathbf{x}=0$ . Hay nói cách khác, số vô hiệu của $A$ chính là số cột của $A$ không phải là cột trụ. (Lưu ý rằng đó là số lượng cột này, chứ không phải bản thân các cột, có liên quan đến Nul $A$ ). Rõ ràng, ta có phương trình:

Điều này chứng minh định lý.

Ví dụ 5: Tìm nullity và rank của

$A=\begin{bmatrix}-3&6&-1&1&-7\\1&-2&2&3&-1\\2&-4&5&8&-4\\\end{bmatrix}$

Giải Thực hiện phép khử Gauss để đưa ma trận mở rộng $\begin{bmatrix}A&0\\\end{bmatrix}$ về dạng bậc thang:

$B=\begin{bmatrix}1&-2&2&3&-1&0\\0&0&1&2&-2&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}$

Có ba biến tự do: $x_2,x_4$ và $x_5$ → Nullity của $A$ là 3.
Có hai cột trụ trong $A$ → Rank của $A$ là 2.

Các ý tưởng đằng sau định lý 14 được thể hiện rõ trong các phép tính của ví dụ 5. Hai vị trí cột trụ trong $B$ (dạng bậc thang của $A$ ) xác định các biến cơ bản, đồng thời giúp tìm ra các vector cơ sở cho không gian cột Col $A$ và không gian hàng Row $A$ .

Ví dụ 6

a) Nếu $A$ là một ma trận kích thước $7\times 9$ với nullity bằng 2, thì rank của $A$ là bao nhiêu?

b) Liệu một ma trận kích thước $6\times 9$ có thể có nullity bằng 2 không?

Giải

a) Vì $A$ có 9 cột, nên theo Định lý Rank, ta có: $$\text{rank\:}A$+2=9$

Do đó, rank $A=7$

b) Không. Nếu một ma trận $6\times 9$ , gọi là $B$ , có không gian nullity có số chiều bằng 2, thì theo Định lý Rank, nó phải có rank bằng 7. Tuy nhiên, các cột của $B$ là các vector trong $\mathbb{R}^6$ , do đó số chiều của không gian cột Col $B$ không thể vượt quá 6, nghĩa là: rank $B\leq 6$ .

Vì vậy, một ma trận $6\times 9$ không thể có nullity bằng 2.

Ví dụ tiếp theo cung cấp một cách trực quan để hình dung các không gian con mà chúng ta đã nghiên cứu. Chúng ta sẽ học rằng Row $A$ và Nul $A$ chỉ có vector không là điểm chung và thực tế là vuông góc với nhau. Điều tương tự cũng đúng với Row $A^T$ $(=\text{Col}\:A)$ và Nul $A^T$ . Do đó, hình 2, đi kèm với ví dụ 7, tạo ra một hình ảnh trực quan hữu ích cho trường hợp tổng quát.

Ví dụ 7 Xét ma trận $A=\begin{bmatrix}3&0&-1\\3&0&-1\\4&0&5\\\end{bmatrix}$ . Có thể dễ dàng kiểm tra rằng:

Nul $A$ là trục $x_2$ .
Row $A$ là mặt phẳng $x_1 x_3$ .
Col $A$ là mặt phẳng có phương trình $x_1-x_2=0$ .
Nul $A^T$ là tập hợp tất cả các bội số của $(1,-1,0)$ .

Hình 2 minh họa Nul $A$ và Row $A$ trong miền xác định của phép biến đổi tuyến tính $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ . Không gian ảnh của ánh xạ này, tức Col $A$ , được hiển thị trong một bản sao riêng của $\mathbb{R}^3$ , cùng với Nul $A^T$ .

Hình 2: Các không gian con được xác định bởi ma trận $A$

Ứng dụng vào Hệ phương trình

Định lý Rank là một công cụ mạnh mẽ để xử lý thông tin về hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ tiếp theo mô phỏng cách một bài toán thực tế có thể được trình bày bằng hệ phương trình tuyến tính mà không đề cập trực tiếp đến các thuật ngữ đại số tuyến tính như ma trận, không gian con và số chiều.

Ví dụ 8 Ví dụ 8 Một nhà khoa học đã tìm thấy hai nghiệm của một hệ thuần nhất gồm 40 phương trình với 42 ẩn. Hai nghiệm này không phải là bội của nhau, và tất cả các nghiệm khác có thể được tạo ra bằng cách cộng các bội thích hợp của hai nghiệm này. Nhà khoa học có thể chắc chắn rằng một hệ phi thuần nhất tương ứng (có cùng hệ số) có nghiệm không?

Giải Có. Gọi $A$ là ma trận hệ số $40\times 42$ của hệ phương trình. Thông tin được cung cấp cho thấy rằng hai nghiệm này là độc lập tuyến tính và sinh ra Nul $A$ . Do đó, nullity $A=2$ . Theo Định lý Rank, ta có:

Vì $\mathbb{R}^{40}$ là không gian con duy nhất của $\mathbb{R}^{40}$ có số chiều là 40, nên Col $A$ chính là toàn bộ $\mathbb{R}^{40}$ . Điều này có nghĩa là với mọi vế phải $b\in\mathbb{R}^{40}$ , phương trình phi thuần nhất $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ luôn có nghiệm.