Bài giảng 7: Tập Hợp Độc Lập Tuyến Tính

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Trong phần này, chúng ta xác định và nghiên cứu các tập hợp con có thể sinh ra một không gian vector $V$ hoặc một không gian con $H$ một cách “hiệu quả” nhất có thể. Ý tưởng quan trọng ở đây là tính độc lập tuyến tính, được định nghĩa tương tự như trong $\mathbb{R}^n$ .

Một tập hợp chỉ mục các vector $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\}$ trong $V$ được gọi là độc lập tuyến tính nếu phương trình vector:

(1) $\begin{equation*}c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\dots+c_p\mathbf{v}_p=\mathbf{0}\end{equation*}$

chỉ có nghiệm tầm thường $c_1=0,\dots,c_p=0.$

Ngược lại, tập hợp $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\}$ được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu phương trình trên có nghiệm không tầm thường, tức là tồn tại các hệ số $c_1,\dots,c_p$ không đồng thời bằng 0 thỏa mãn phương trình (1). Trong trường hợp này, phương trình (1) được gọi là một quan hệ phụ thuộc tuyến tính giữa các vector ${\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p}$ .

Tương tự như trong $\mathbb{R}^n$ :

Một tập hợp chứa một vector duy nhất $\mathbf{v}$ là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu $\mathbf{v}\neq 0$ .
Một tập hợp gồm hai vector là phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu một vector là bội số của vector kia.
Bất kỳ tập hợp nào chứa vector không đều bằng 0 đều là phụ thuộc tuyến tính.

Định Lý 4

Một tập hợp có chỉ mục  gồm hai vector trở lên, với , là phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu tồn tại một vector  (với ) có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector trước đó, tức là .

Sự khác biệt chính giữa tính phụ thuộc tuyến tính trong $\mathbb{R}^n$ và trong một không gian vector tổng quát là: khi các vector không phải là bộ n thành phần (n-tuples), phương trình thuần nhất (1) thường không thể được viết dưới dạng một hệ phương trình tuyến tính với $n$ ẩn số. Điều này có nghĩa là ta không thể đưa các vector đó vào các cột của một ma trận $A$ để nghiên cứu phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ . Do đó, ta phải dựa vào định nghĩa của tính phụ thuộc tuyến tính và định lý 4 để phân tích.

Ví dụ 1: Xét các đa thức: $\mathbf{p}_1(t)=1,\:\mathbf{p}_2(t)=t,$ và $\mathbf{p}_3(t)=4-t.$ Khi đó, tập hợp $\{\mathbf{p_{1},p_{2},p_{3}}\}$ là phụ thuộc tuyến tính trong không gian đa thức $\mathbb{P}$ vì $\mathbf{p_{3}}=4\mathbf{p_{1}}-\mathbf{p_{2}}$ .

Ví dụ 2: Tập hợp $\{\sin t,\cos t\}$ là độc lập tuyến tính trong không gian $C[0,1]$ , không gian của tất cả các hàm liên tục trên $0\leq t\leq 1$ , vì $\sin t$ và $\cos t$ không phải là bội số của nhau dưới dạng vector trong $C[0,1]$ . Nói cách khác, không tồn tại một số vô hướng $c$ sao cho: $\cos t=c\cdot\sin t$ với mọi $t\in[0,1]$ .

Tuy nhiên, tập hợp $\{\sin t\cos t,\sin 2t\}$ lại phụ thuộc tuyến tính, vì theo công thức lượng giác: $\sin 2t=2\sin t\cos t$ với mọi $t$ .

Định nghĩa

Gọi  là một không gian con của một không gian vector . Một tập hợp các vector  trong  được gọi là một cơ sở của  nếu thỏa mãn:

(i.)  là một tập hợp độc lập tuyến tính.
(ii.) Không gian con được sinh ra bởi  trùng với , tức là:

Định nghĩa này cũng áp dụng trong trường hợp $H=V$ , vì bất kỳ không gian vector nào cũng là một không gian con của chính nó. Như vậy, một cơ sở của $V$ là một tập hợp các vector độc lập tuyến tính mà có thể bao trùm toàn bộ không gian $V$ .

Lưu ý rằng khi $H\neq V$ , điều kiện (ii) cũng đảm bảo rằng mọi vector bb trong $\ss$ phải thuộc về $H$ , vì không gian sinh bởi $\ss$ chứa tất cả các phần tử trong $\ss$ .

Ví dụ 3: Cho $A$ là một ma trận khả nghịch kích thước $n\times n$ , $A=[\mathbf{a}_1\quad\dots\quad\mathbf{a}_n]$ . Tập hợp các cột của $A$ tạo thành một cơ sở của $\mathbb{R}^n$ vì chúng độc lập tuyến tính và chúng bao trùm không gian $\mathbb{R}^n$ (theo Định lý Ma trận Khả nghịch – Invertible Matrix Theorem).

Ví dụ 4: Gọi $\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n$ là các cột của ma trận đơn vị $I_n$ kích thước $n\times n$ , tức là:

$\mathbf{e}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix},\quad\mathbf{e}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix},\quad...,\quad\mathbf{e}_n=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{bmatrix}$

Tập hợp $\{\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\}$ được gọi là cơ sở tiêu chuẩn của $\mathbb{R}^n$ .

Hình 1: Cơ sở tiêu chuẩn của $\mathbb{R}^3$

Ví dụ 5: Cho các vector: $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}3\\0\\-6\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-4\\1\\7\end{bmatrix},$ và $\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}-2\\1\\5\end{bmatrix}.$ Xác định xem tập hợp $\{\mathbf{v_{1},v_{2},v_{3}}\}$ có phải là một cơ sở của $\mathbb{R}^3$ hay không.

Giải: Vì có ba vector trong $\mathbb{R}^3$ , ta có thể kiểm tra tính khả nghịch của ma trận

$A=\[\mathbf{v}_1\quad\mathbf{v}_2\quad\mathbf{v}_3\]$

Bằng cách thực hiện hai phép biến đổi hàng, ta thấy rằng $A$ có ba vị trí pivot. Do đó, $A$ là ma trận khả nghịch, chứng tỏ rằng các cột của $A$ tạo thành một cơ sở của $\mathbb{R}^3$ (theo ví dụ 3).

Ví dụ 6: Cho tập hợp $S=\{1,t,t^2,\dots,t^n\}$ . Xác minh rằng $S$ là một cơ sở của không gian đa thức $\mathbb{P}_n$ . Tập hợp này được gọi là cơ sở tiêu chuẩn của $\mathbb{P}_n$ .

Giải: Rõ ràng, tập hợp $S$ sinh ra không gian $\mathbb{P}_n$ , vì bất kỳ đa thức nào trong $\mathbb{P}_n$ đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong $S$ .

Để chứng minh $S$ là độc lập tuyến tính, giả sử có các hệ số $c_0,\dots,c_n$ sao cho:

(2) $\begin{equation*}c_01+c_1 t+c_2 t^2+\dots+c_n t^n=\mathbf{0(t)}\end{equation*}$

Điều này có nghĩa là đa thức bên trái bằng đa thức không ở vế phải.

Một định lý cơ bản trong đại số phát biểu rằng một đa thức bậc $n$ có $n+1$ nghiệm khác nhau chỉ khi nó là đa thức không. Do đó, phương trình (2) chỉ có thể đúng khi: $c_0=\dots=c_n=0$ . Điều này chứng minh rằng $S$ độc lập tuyến tính, và do đó $S$ là một cơ sở của $\mathbb{P}_n$ . Xem hình 2.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 7: Tập Hợp Độc Lập Tuyến Tính

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy