Bài giảng 10: Hệ Tọa Độ

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Một lý do quan trọng để xác định một cơ sở $\ss$ cho một không gian vector $V$ là để áp đặt một hệ tọa độ lên $V$ . Phần này sẽ cho thấy rằng nếu $\ss$ chứa $n$ vector, thì hệ tọa độ này sẽ làm cho $V$ hoạt động giống như $\mathbb{R}^n$ . Nếu $V$ vốn dĩ đã là $\mathbb{R}^n$ , thì $\ss$ sẽ xác định một hệ tọa độ mới, cung cấp một cái nhìn khác về $V$ .

Sự tồn tại của các hệ tọa độ dựa trên kết quả cơ bản sau đây.

Định lý 8: Định lý Biểu Diễn Duy Nhất

Cho $\ss=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\}$ là một cơ sở của không gian vector $V$ . Khi đó, với mỗi vector $\mathbf{x}$ trong $V$ , tồn tại duy nhất một bộ số vô hướng $c_1,\dots,c_n$ sao cho:

(1) $\begin{equation*}\mathbf{x}=c_1\mathbf{b}_1+\dots+c_n\mathbf{b}_n\end{equation*}$

Chứng minh Vì $\ss$ sinh $V$ , nên tồn tại các số vô hướng $d_1,d_2,\dots,d_n$ sao cho phương trình (1) đúng.

Giả sử cũng tồn tại một biểu diễn khác của $\mathbf{x}$

$\mathbf{x}=d_{1}\mathbf{b_{1}}+\dots+d_n\mathbf{b}_n$

Khi đó, trừ hai phương trình này cho nhau, ta có:

(2) $\begin{equation*}\mathbf{0}=\mathbf{x}-\mathbf{x}=(c_1-d_1)\mathbf{b}_1+\dots+(c_n-d_n)\mathbf{b}_n\end{equation*}$

Vì $\ss$ là một tập độc lập tuyến tính, các hệ số phải bằng 0: $c_j-d_j=0,\quad\forall j=1,2,\dots,n$ .

Do đó, $c_j=d_j$ với mọi $j$ , chứng minh rằng biểu diễn của $\mathbf{x}$ là duy nhất.

Định nghĩa

Giả sử  là một cơ sở của không gian vector  và  là một phần tử trong . Các tọa độ của  theo cơ sở  (hay tọa độ  của ) là các hệ số  sao cho: .

Nếu $c_1,\dots,c_n$ là tọa độ $\ss$ của $\mathbf{x}$ , thì vector trong $\mathbb{R}^n$ :

$[\mathbf{x}]_{\ss}=\begin{bmatrix}c_1\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}$

được gọi là vector tọa độ của $\mathbf{x}$ theo cơ sở $\ss$ . Ánh xạ: $\mathbf{x}\mapsto[\mathbf{x}]_{\ss}$ được gọi là ánh xạ tọa độ (do $\ss$ xác định).

Ví dụ 1: Xét cơ sở $\ss=\{\mathbf{b_1,b_2}\}$ của $\mathbb{R}^2$ , trong đó: $\mathbf{b}_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ và $\mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}$ . Giả sử một vector $\mathbf{x}$ trong $\mathbb{R}^2$ có vector tọa độ $B$ là: $[x]_{\ss}=\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}$ . Tìm $\mathbf{x}$ .

Giải: Các tọa độ $\ss$ của $\mathbf{x}$ cho biết cách xây dựng $\mathbf{x}$ từ các vector trong $\ss$ :

$\mathbf{x}=(-2)\mathbf{b_{1}}+3\mathbf{b_{2}}=(-2)\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\6\end{bmatrix}$

Ví dụ 2: Các phần tử trong vector $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1\\6\end{bmatrix}$ chính là tọa độ của $\mathbf{x}$ theo cơ sở tiêu chuẩn $E=\{\mathbf{e_1,e_2}\}$ , vì: