Bài giảng 12: Tọa độ trong Rⁿ

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Khi một hệ cơ sở $\ss$ cho $\mathbb{R}^{n}$ đã được cố định, vector tọa độ $\ss$ của một vector $\mathbf{x}$ cụ thể có thể được tìm thấy dễ dàng, như trong ví dụ sau.

Ví dụ 4: Cho $\mathbf{b}_1=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix},\:\mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix},\:\mathbf{x}=\begin{bmatrix}4\\5\end{bmatrix},$ và $\ss=\{\mathbf{b_1,b_2}\}$ . Hãy tìm vector tọa độ $\left[\mathbf{x}\right]_{\ss}$ của $\mathbf{x}$ theo hệ cơ sở $\ss$ .

Giải: Tọa độ $c_1,c_2$ của $\mathbf{x}$ theo $\ss$ thỏa mãn:

$c_{1}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\5\end{bmatrix}$

hoặc

(3) $\begin{equation*}\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\5\end{bmatrix}\end{equation*}$

Phương trình này có thể được giải bằng phép biến đổi hàng trên ma trận mở rộng hoặc nhân x với ma trận nghịch đảo của hệ số. Trong mọi trường hợp, nghiệm thu được là $c_1=3,\:c_2=2$ . Do đó: $\mathbf{x}=3\mathbf{b}_1+2\mathbf{b}_2$ , và

$\left[\mathbf{x}\right]_{\ss}=\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}$

Xem hình 4.

Hình 4: Vector tọa độ $\ss$ của $\mathbf{x}$ là $(3,2)$ .

Ma trận (3) biểu diễn phép chuyển đổi từ tọa độ theo $\ss$ sang tọa độ tiêu chuẩn của $\mathbf{x}$ . Một phép chuyển đổi tọa độ tương tự có thể được thực hiện trong $\mathbb{R}^{n}$ với hệ cơ sở $\ss=\{\mathbf{b_1,\dots,b_n}\}$ . Giả sử

$P_{\ss}=\begin{bmatrix}\mathbf{b_{1}}&\mathbf{b_{2}}&\cdots&\mathbf{b_{n}}\\\end{bmatrix}$

khi đó, phương trình vector:

$\mathbf{x}=c_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2+\dots+c_n\mathbf{b}_n$

tương đương với

(4) $\begin{equation*}\mathbf{x}=P_{\ss}\left[\mathbf{x}\right]_{\ss}\end{equation*}$

Ta gọi $P_{\ss}$ là ma trận chuyển đổi tọa độ từ hệ cơ sở $\ss$ sang hệ tiêu chuẩn trong $\mathbb{R}^{n}$ . Phép nhân bên trái bởi $P_{\ss}$ biến đổi vector tọa độ $\left[\mathbf{x}\right]_{\ss}$ thành vector $\mathbf{x}$ trong hệ tiêu chuẩn. Do các cột của $P_{\ss}$ tạo thành một hệ cơ sở cho $\mathbb{R}^{n}$ , nên $P_{\ss}$ là ma trận khả nghịch. Nhân bên trái bởi $P_{\ss}^{-1}$ sẽ chuyển $\mathbf{x}$ thành vector tọa độ theo $\ss$ :

$P_{\ss}^{-1}\mathbf{x}=\left[\mathbf{x}\right]_{\ss}$

Ánh xạ $\mathbf{x}\mapsto\left[\mathbf{x}\right]_{\ss}$ , được thực hiện bởi $P_{\ss}^{-1}$ , là một phép ánh xạ tọa độ. Do $P_{\ss}^{-1}$ là một ma trận khả nghịch, nên phép ánh xạ tọa độ là một phép biến đổi tuyến tính đơn ánh từ $\mathbb{R}^{n}$ lên $\mathbb{R}^{n}$ . Tính chất này của ánh xạ tọa độ cũng đúng trong không gian vector tổng quát có hệ cơ sở, như ta sẽ thấy sau.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 12: Tọa độ trong Rⁿ

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy