Bài giảng 13: Ánh xạ tọa độ

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Việc chọn một cơ sở $\ss=\{\mathbf{b_{1},...,\mathbf{b_{n}}\}}$ cho không gian vectơ $V$ tạo ra một hệ tọa độ trong $V$ . Ánh xạ tọa độ $\mathbf{x}\mapsto[\mathbf{x}]_{\ss}$ kết nối không gian $V$ có thể xa lạ với không gian quen thuộc $\mathbb{R}^n$ . Xem hình 5. Nhờ đó, các điểm trong $V$ có thể được xác định bằng “tên” mới của chúng.

Định lý 9

Cho  là một cơ sở của không gian vectơ . Khi đó, ánh xạ tọa độ  là một ánh xạ tuyến tính đơn ánh từ  lên .

Chứng minh: Xét hai vectơ bất kỳ trong $V$ , giả sử:

$\begin{matrix}\mathbf{u}=&c_1\mathbf{b}_1+\dots+c_n\mathbf{b}_n\\\mathbf{w}=&d_1\mathbf{b}_1+\dots+d_n\mathbf{b}_n\\\end{matrix}$

Sử dụng các phép toán vectơ, ta có:

$\mathbf{u}+\mathbf{w}=(c_1+d_1)\mathbf{b}_1+\dots+(c_n+d_n)\mathbf{b}_n$

Do đó,

$[\mathbf{u+w}]_{\ss}=\begin{bmatrix}c_1+d_1\\\vdots\\c_n+d_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}d_1\\\vdots\\d_n\end{bmatrix}=[\mathbf{u}]_{\ss}+[\mathbf{w}]_{\ss}$

Điều này chứng tỏ ánh xạ tọa độ bảo toàn phép cộng. Nếu $r$ là một số vô hướng bất kỳ, thì:

$r\mathbf{u}=r(c_1\mathbf{b}_1+\dots+c_n\mathbf{b}_n)=(r c_1)\mathbf{b}_1+\dots+(r c_n)\mathbf{b}_n$

Suy ra:

$[r\mathbf{u}]_{\ss}=\begin{bmatrix}rc_{1}\\\vdots\\rc_{n}\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots\\c_{n}\end{bmatrix}=r[\mathbf{u}]_{\ss}$

Vậy ánh xạ tọa độ cũng bảo toàn phép nhân vô hướng, do đó nó là một ánh xạ tuyến tính.

Tính chất tuyến tính của ánh xạ tọa độ cũng mở rộng cho tổ hợp tuyến tính. Nếu $\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p$ là các vectơ trong $V$ và $c_1,\dots,c_p$ là các số vô hướng, thì:

(5) $\begin{equation*}[c_1\mathbf{u}_1+\dots+c_p\mathbf{u}_p]_{\ss}=c_1[\mathbf{u}_1]_{\ss}+\dots+c_p[\mathbf{u}_p]_{\ss}\end{equation*}$

Nói cách khác, phương trình (5) phát biểu rằng tọa độ của tổ hợp tuyến tính các vectơ $\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p$ chính là tổ hợp tuyến tính của các vectơ tọa độ của chúng.

Ánh xạ tọa độ trong định lý 9 là một ví dụ quan trọng về một đẳng cấu từ $V$ lên $\mathbb{R}^n$ . Nói chung, một ánh xạ tuyến tính đơn ánh từ không gian vectơ $V$ lên không gian vectơ $W$ được gọi là một đẳng cấu từ $V$ lên $W$ .

Ký hiệu và thuật ngữ của $V$ và $W$ có thể khác nhau, nhưng về bản chất, hai không gian này không thể phân biệt được với nhau như là các không gian vectơ. Mọi phép toán trên vectơ trong $V$ đều có thể được mô phỏng chính xác trong $W$ và ngược lại. Đặc biệt, bất kỳ không gian vectơ thực nào có một cơ sở gồm $n$ vectơ đều tương đương với $\mathbb{R}^n$ .

Ví dụ 5: Gọi $\ss$ là cơ sở tiêu chuẩn của không gian $\mathbb{P}_3$ gồm các đa thức; nghĩa là, $\ss=\{1,t,t^2,t^3\}$ . Một phần tử điển hình pp trong $\mathbb{P}_3$ có dạng:

$\mathbf{p}(t)=a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3$

Vì $\mathbf{p}$ đã được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở tiêu chuẩn, ta suy ra rằng:

$[\mathbf{p}]_{\ss}=\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}$

Do đó, ánh xạ tọa độ $\mathbf{p}\mapsto[\mathbf{p}]_{\ss}$ là một đẳng cấu từ $\mathbb{P}_3$ lên $\mathbb{R}^4$ . Mọi phép toán trong không gian vectơ $\mathbb{P}_3$ đều tương ứng với các phép toán trong $\mathbb{R}^4$ .

Nếu ta hình dung $\mathbb{P}_3$ và $\mathbb{R}^4$ là hai màn hình máy tính được kết nối thông qua ánh xạ tọa độ, thì mọi phép toán trong không gian vectơ $\mathbb{P}_3$ trên một màn hình sẽ được sao chép chính xác bởi một phép toán tương ứng trong $\mathbb{R}^4$ trên màn hình còn lại. Các vectơ trên màn hình $\mathbb{P}_3$ có thể trông khác với các vectơ trên màn hình $\mathbb{R}^4$ , nhưng chúng hoạt động theo đúng các quy tắc của không gian vectơ. Xem Hình 6.

**Hình 6** Không gian $\mathbb{P}_3$ là một không gian đẳng cấu với $\mathbb{R}^4$ .

Ví dụ 6: Sử dụng vectơ tọa độ để xác minh rằng các đa thức $1+2t^2,\:4+t+5t^2,$ và $3+2t$ là phụ thuộc tuyến tính trong $\mathbb{P}_2$ .

Giải: Ánh xạ tọa độ từ ví dụ 5 cho ta các vectơ tọa độ tương ứng: $(1,0,2),\:(4,1,5),$ và $\(3,2,0)$ .

Viết các vectơ này dưới dạng các cột của một ma trận $A$ , ta có thể xác định tính độc lập tuyến tính bằng cách biến đổi hàng của ma trận mở rộng cho hệ phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ .

$\begin{bmatrix}1&4&3&0\\0&1&2&0\\2&5&0&0\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&4&3&0\\0&1&2&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}$

Do các cột của $A$ là phụ thuộc tuyến tính, nên các đa thức tương ứng cũng là phụ thuộc tuyến tính. Thực tế, dễ dàng kiểm tra rằng cột thứ ba của $A$ bằng 2 lần cột thứ hai trừ đi 5 lần cột thứ nhất. Mối quan hệ tương ứng giữa các đa thức là:

$3+2t=2(4+t+5t^2)-5(1+2t^2)$

Ví dụ cuối cùng đề cập đến một mặt phẳng trong $\mathbb{R}^3$ , là không gian đẳng cấu với $\mathbb{R}^2$ .

Ví dụ 7: Cho

$\mathbf{v_{1}}=\begin{bmatrix}3\\6\\2\end{bmatrix},\quad\mathbf{v_{2}}=\begin{bmatrix}-1\\0\\2\end{bmatrix},\quad\mathbf{x}=\begin{bmatrix}3\\12\\7\end{bmatrix},$

và $\ss=\{\mathbf{v_1,v_2}\}.$ Khi đó, $\ss$ là một cơ sở của $H=\text{Span}\:\{\mathbf{v_1,v_2}\}$ . Xác định xem $\mathbf{x}$ có thuộc $H$ không, và nếu có, hãy tìm vectơ tọa độ của $\mathbf{x}$ theo cơ sở $\ss$ .

Giải: Nếu $\mathbf{x}$ thuộc $H$ , thì phương trình vectơ sau phải có nghiệm:

$c_{1}\begin{bmatrix}3\\6\\2\end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix}-1\\0\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\12\\7\end{bmatrix}$

Các vô hướng $c_1$ và $c_2$ , nếu tồn tại, chính là tọa độ của $\mathbf{x}$ trong hệ tọa độ $\ss$ . Sử dụng phép biến đổi hàng, ta thu được:

$\begin{bmatrix}3&-1&3\\6&0&12\\2&1&7\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&3\\0&0&0\\\end{bmatrix}$

Do đó $c_{1}=2$ , $c_{2}=3$ , và $\left[\mathbf{x}\right]_{\ss}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$ .

Hệ tọa độ trên $H$ được xác định bởi $\ss$ được minh họa trong hình 7.

**HÌNH 7** Hệ tọa độ trên một mặt phẳng $H$ trong $\mathbb{R}^3$ .

Nếu chọn một cơ sở khác cho $H$ , thì hệ tọa độ tương ứng có làm cho $H$ đồng cấu với $\mathbb{R}^2$ không? Chắc chắn điều này phải đúng. Chúng ta sẽ chứng minh điều đó trong phần tiếp theo.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 13: Ánh xạ tọa độ

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy