Bài giảng 17: Thay Đổi Cơ Sở

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Khi một cơ sở $\ss$ được chọn cho một không gian vectơ VV có số chiều nn, ánh xạ tọa độ tương ứng lên Rn\mathbb{R}^n cung cấp một hệ tọa độ cho $V$ . Mỗi vectơ $\mathbf{x}\in V$ được xác định duy nhất bởi vectơ tọa độ của nó trong cơ sở $\ss$ , ký hiệu là $[\mathbf{x}]_{\ss}$ .

Trong một số ứng dụng, một bài toán ban đầu được mô tả theo một cơ sở $\ss$ , nhưng việc giải bài toán sẽ trở nên thuận lợi hơn khi chuyển sang một cơ sở mới $C$ . Khi đó, mỗi vectơ sẽ có một vectơ tọa độ mới trong cơ sở $C$ . Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa $[\mathbf{x}]_{C}$ và $[\mathbf{x}]_{\ss}$ đối với mỗi $\mathbf{x}\in V$ .

Để trực quan hóa vấn đề, hãy xem xét hai hệ tọa độ trong Hình 1.

Trong Hình 1(a), vectơ $\mathbf{x}$ được biểu diễn theo cơ sở $B$ như sau: $\mathbf{x}=3\mathbf{b}_1+\mathbf{b}_2$
Trong Hình 1(b), cùng một vectơ $\mathbf{x}$ lại được biểu diễn theo cơ sở $C$ như sau: $\mathbf{x}=6\mathbf{c}_1+4\mathbf{c}_2$ .

Tức là

$[\mathbf{x}]_{\ss}=\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$ và $[\mathbf{x}]_{C}=\begin{bmatrix}6\\4\end{bmatrix}$

Vấn đề của chúng ta là tìm mối liên hệ giữa hai vectơ tọa độ này. Ví dụ 1 sẽ chỉ ra cách thực hiện điều này, với điều kiện chúng ta biết cách biểu diễn $\mathbf{b}_1$ và $\mathbf{b}_2$ theo $\mathbf{c}_1$ và $\mathbf{c}_2$ .

**Hình 1:** Hai hệ tọa độ khác nhau cho cùng một không gian vectơ.

Ví dụ 1: Xét hai cơ sở $\ss=\{\mathbf{b_1,b_2}\}$ và $C=\{\mathbf{c_1,c_2}\}$ của không gian vectơ $V$ , trong đó:

(1) $\begin{equation*}\mathbf{b_{1}}=\mathbf{4c_1+c_2},\qquad\mathbf{b_{2}}=\mathbf{-6c_1+c_2}\end{equation*}$

Giả sử rằng:

(2) $\begin{equation*}\mathbf{x}=\mathbf{3b_1+b_2}\end{equation*}$

Nói cách khác, tọa độ của $\mathbf{x}$ trong cơ sở $\ss$ là: $[\mathbf{x}]_{\ss}=\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$ . Hãy tìm $[\mathbf{x}]_{C}$ .

Giải: Áp dụng ánh xạ tọa độ xác định bởi $C$ cho $\mathbf{x}$ trong (2). Vì ánh xạ này là một phép biến đổi tuyến tính, ta có:

$[\mathbf{x}]_{C}=[\mathbf{3b_1+b_2}]_{C}=[\mathbf{3b_1}]_{C}+[\mathbf{b_2}]_{C}$

Ta có thể viết phương trình này dưới dạng ma trận bằng cách đặt các vectơ trong tổ hợp tuyến tính làm cột của một ma trận:

(3) $\begin{equation*}[\mathbf{x}]_{C}=\begin{bmatrix}[\mathbf{b_1}]_{C}&[\mathbf{b_2}]_{C}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}\end{equation*}$

Công thức này cho [\mathbf{x}]_{C} khi chúng ta biết các cột của ma trận. Từ (1),

$[\mathbf{b_1}]_{C}=\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix},\qquad[\mathbf{b_2}]_{C}=\begin{bmatrix}-6\\1\end{bmatrix}$

Do đó, (3) cung cấp lời giải:

$[\mathbf{x}]_{C}=\begin{bmatrix}4&-6\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\4\end{bmatrix}$

Tọa độ của $\mathbf{x}$ trong cơ sở $C$ đúng với kết quả đã được minh họa trong hình 1.

Lập luận được sử dụng để suy ra công thức (3) có thể được tổng quát hóa để đưa ra kết quả sau.

Định lý 15

Cho  và  là các cơ sở của không gian vectơ . Khi đó, tồn tại duy nhất một ma trận  ký hiệu là  sao cho:

(4) $\begin{equation*}[\mathbf{x}]_{C}=C\overset{P}{\leftarrow}\ss[\mathbf{x}]_{\ss}\end{equation*}$

Các cột của CPBC_P^B chính là các vectơ tọa độ theo cơ sở $C$ của các vectơ trong cơ sở $\ss$ , tức là:

(5) $\begin{equation*}C\overset{P}{\leftarrow}\ss=\begin{bmatrix}[\mathbf{b_1}]_{C}&[\mathbf{b_2}]_{C}&\cdots&[\mathbf{b_n}]_{C}\\\end{bmatrix}\end{equation*}$

Ma trận $C\overset{P}{\leftarrow}\ss$ trong Định lý 15 được gọi là ma trận chuyển đổi tọa độ từ cơ sở $\ss$ sang cơ sở $C$ . Nhân với $C\overset{P}{\leftarrow}\ss$ sẽ chuyển tọa độ theo $\ss$ sang tọa độ theo $C$ . Hình 2 minh họa phương trình chuyển đổi tọa độ (4).

Hình 2: Hai hệ toạ độ cho không gian $V$

Các cột của $C\overset{P}{\leftarrow}\ss$ là độc lập tuyến tính vì chúng là các vectơ tọa độ của tập hợp độc lập tuyến tính $\ss$ . Vì $C\overset{P}{\leftarrow}\ss$ là một ma trận vuông, theo Định lý Ma trận Khả nghịch, nó phải khả nghịch.

Nhân cả hai vế của phương trình (4) với $(C\overset{P}{\leftarrow}\ss)^{-1}$ từ bên trái ta được: