Bài giảng 21: Xử lý tín hiệu số (tiếp theo)

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Các biến đổi tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI), như phép biến đổi dịch chuyển, có thể được sử dụng để tạo ra các tín hiệu mới từ các tín hiệu đã được lưu trữ trong hệ thống. Một loại biến đổi LTI khác được sử dụng để làm mượt hoặc lọc dữ liệu. Một phép biến đổi LTI trung bình động hai ngày được sử dụng để làm mượt biến động giá cổ phiếu. Ánh xạ này được mở rộng để bao gồm các khoảng thời gian dài hơn. Việc làm mượt một tín hiệu có thể giúp dễ dàng phát hiện các xu hướng trong dữ liệu. Việc lọc tín hiệu sẽ được thảo luận chi tiết hơn trong bài sau.

Ví dụ 2: Với bất kỳ số nguyên dương mm, phép biến đổi LTI trung bình động với khoảng thời gian $m$ được xác định bởi:

$M_{m}(\{x_{k}\})=\{y_{k}\}$ , trong đó $\{y_{k}\}=\frac{1}{m}\sum_{j=k-m+1}^{k}x_k$

Hình 3 minh họa cách $M_3$ làm mượt một tín hiệu. Hình 3 cũng thể hiện quá trình làm mượt khi áp dụng $M_2$ cho cùng một tập dữ liệu. Khi giá trị $m$ tăng lên, việc áp dụng $M_m$ sẽ làm tín hiệu trở nên mượt mà hơn nữa.

Hạt nhân (kernel) của $M_2$ được tính toán trong ví dụ 11, nó là không gian sinh của chuỗi luân phiên $\alpha$ được liệt kê trong bảng 1. Hạt nhân của phép biến đổi LTI mô tả phần nào của tín hiệu gốc đã bị loại bỏ trong quá trình làm mượt.

Một loại xử lý tín hiệu số (DSP) khác có chức năng ngược lại với làm mượt hoặc lọc tín hiệu – nó kết hợp các tín hiệu để tăng độ phức tạp của chúng. Auralization là một quá trình được sử dụng trong ngành công nghiệp giải trí để tạo ra chất lượng âm thanh chân thực hơn cho các âm thanh được tạo ra bằng kỹ thuật số.

Trong ví dụ 3, chúng tôi minh họa cách việc kết hợp các tín hiệu có thể cải thiện âm thanh được tạo ra bởi tín hiệu $\{\cos(440\pi k)\}$ .

Ví dụ 3: Kết hợp nhiều tín hiệu có thể được sử dụng để tạo ra các âm thanh ảo chân thực hơn. Trong Hình 4, có thể thấy rằng sóng cos ban đầu chứa rất ít sự biến đổi, trong khi đó, khi cải tiến phương trình sử dụng, các sóng được tạo ra có sự biến đổi rõ rệt hơn bằng cách thêm hiệu ứng vang (echo) hoặc làm âm thanh mờ dần theo thời gian.

Xây dựng cơ sở cho các không gian con của S

Nếu nhiều tập dữ liệu được lấy mẫu trong cùng nn khoảng thời gian, có thể có lợi khi xem các tín hiệu được tạo ra là một phần của $\mathbb{S}_n$ . Tập hợp các tín hiệu có độ dài $n$ , ký hiệu $\mathbb{S}_n$ , được định nghĩa là tập hợp tất cả các tín hiệu $\{y_k\}$ sao cho $\{y_k\}=0$ khi $k<0$ hoặc $k>n$ .

Định lý 17 xác lập rằng $\mathbb{S}_n$ là một không gian đẳng cấu với $\mathbb{R}^{n+1}$ . Một cơ sở cho $\mathbb{S}_n$ có thể được tạo ra bằng cách sử dụng phép biến đổi LTI dịch chuyển $S$ từ ví dụ 1 và tín hiệu $\delta$ , như được minh họa trong bảng 2.

Định lý 17

Tập hợp  là một không gian con của  và đẳng cấu với . Tập hợp các tín hiệu  tạo thành một cơ sở cho .

Chứng minh Vì tín hiệu không (zero signal) thuộc $\mathbb{S}_n$ , và phép cộng hoặc nhân vô hướng các tín hiệu không thể tạo ra giá trị khác 0 ở các vị trí bắt buộc phải là 0, nên tập $\mathbb{S}_n$ là một không gian con của $\mathbb{S}$ .

Xét một tín hiệu bất kỳ $\{y_k\}$ trong $\mathbb{S}_n$ . Ta có thể biểu diễn nó dưới dạng:

$\{y_k\}=\sum_{j=0}^{n}S^{j}(\delta),$

do đó, $\mathbb{B}_n$ là một tập sinh của $\mathbb{S}_n$ .

Ngược lại, giả sử có các hệ số $c_0,c_1,\dots,c_n$ sao cho:

$c_0\delta+c_1 S(\delta)+\dots+c_n S^n(\delta)=\{0\},$

Cụ thể

$(\dots,0,0,c_0,c_1,\dots,c_n,0,0,\dots)=(\dots,0,0,0,0,\dots,0,0,0,\dots)$

Điều này chỉ có thể đúng khi $c_0=c_1=\dots=c_n=0$ , nghĩa là các vector trong $\mathbb{\ss}_n$ là độc lập tuyến tính.

Do đó, $\mathbb{\ss}_f$ là một cơ sở của $\mathbb{S}_n$ , và vì nó chứa n+1n+1 phần tử, $\mathbb{\ss}_n$ là một không gian vector có số chiều $n+1$ , đẳng cấu với $\mathbb{R}^{n+1}$ . Điều này cũng có nghĩa là bất kỳ vector nào trong $\mathbb{S}_n$ đều có thể được biểu diễn dưới dạng một vector trong $\mathbb{R}^{n+1}$ .

Ví dụ 4: Sử dụng cơ sở $\ss _2=\{\delta,S(\delta),S^2(\delta)\}$ cho $\mathbb{S}_2$ , biểu diễn tín hiệu $\{y_k\}$ , trong đó:

$y_{k}=\left\{\begin{matrix}0\:\text{khi}\:k<0\:/\:k>3\\2\:\text{khi}\:k=0\\3\:\text{khi}\:k=1\\-1\:\text{khi}\:k=2\end{matrix}\right.$

dưới dạng một vector trong $\mathbb{R}^3$ .

Giải: Trước tiên, viết $\{y_k\}$ dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector cơ sở trong $\ss _2$ :

$\{y_k\}=2\delta+3S(\delta)+(-1)S^2(\delta)$

Hệ số của tổ hợp tuyến tính này chính là các phần tử trong vector tọa độ. Do đó:

$[\{y_k\}]_{\ss _{2}}=\begin{bmatrix}2\\3\\-1\end{bmatrix}$

Tập hợp các tín hiệu có hỗ trợ hữu hạn, $\mathbb{S}_f$ , là tập hợp các tín hiệu {yk}\{y_k\} trong đó chỉ có hữu hạn phần tử khác 0. Trong ví dụ 8, người ta đã chứng minh rằng $\mathbb{S}_f$ là một không gian con của $\mathbb{S}$ . Các tín hiệu được tạo ra bằng cách ghi lại giá cổ phiếu hàng ngày có độ dài tăng theo thời gian, nhưng vẫn chỉ chứa hữu hạn giá trị khác 0, do đó chúng thuộc $\mathbb{S}_f$ , nhưng không thuộc bất kỳ không gian $\mathbb{S}_n$ cụ thể nào.

Ngược lại, nếu một tín hiệu thuộc $\mathbb{S}_n$ với một số nguyên dương $n$ , thì nó cũng thuộc $\mathbb{S}_f$ . Trong định lý 18, ta thấy rằng $\mathbb{S}_f$ là một không gian con có số chiều vô hạn, vì vậy nó không đẳng cấu với Rn\mathbb{R}^n đối với bất kỳ giá trị $n$ nào.

Định lý 18

Tập hợp Bf={Sj(δ) ∣ j∈Z}B_f = \{ S^j (\delta) \ | \ j \in \mathbb{Z} \} là một cơ sở của không gian vector vô hạn chiều .

Chứng minh Xét một tín hiệu bất kỳ $\{y_k\}$ trong $\mathbb{S}_f$ . Vì chỉ có hữu hạn phần tử trong $\{y_k\}$ là khác 0, nên tồn tại các số nguyên pp và qq sao cho:

Do đó, ta có thể biểu diễn $\{y_k\}$ như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong $\mathbb{\ss}_f$ , tức là $\mathbb{\ss}_f$ là một tập sinh của SfS_f.

Hơn nữa, nếu một tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu với hệ số cp,cp+1,…,cqc_p, c_{p+1}, …, c_q bằng không:

thì suy ra:

Điều này chứng tỏ rằng các vector trong $\mathbb{\ss}_f$ là độc lập tuyến tính. Vậy $\mathbb{\ss}_f$ là một cơ sở của SfS_f.

Vì BfB_f chứa vô hạn tín hiệu, ta kết luận $\mathbb{S}_f$ là một không gian vector có số chiều vô hạn.

Khả năng sáng tạo của phép biến đổi LTI dịch chuyển không đủ để tạo ra một cơ sở cho toàn bộ không gian SS. Theo định nghĩa của tổ hợp tuyến tính, chỉ có thể sử dụng hữu hạn vector và hệ số trong một tổng. Xét tín hiệu bước đơn vị θ\theta trong bảng 1:

Đây là một tổng vô hạn của các vector, do đó nó không được xem là một tổ hợp tuyến tính hợp lệ của các phần tử trong $\mathbb{\ss}_f$ .

Trong giải tích, tổng vô hạn các phần tử được nghiên cứu chi tiết. Mặc dù có thể chứng minh rằng mọi không gian vector đều có một cơ sở (trong đó mỗi tổ hợp tuyến tính chỉ có hữu hạn số hạng), nhưng chứng minh này dựa trên Tiên đề chọn (Axiom of Choice). Do đó, việc xác định một cơ sở cho SS là một chủ đề nâng cao hơn trong toán học.

Các tín hiệu hình sin và mũ, có miền xác định vô hạn, sẽ được nghiên cứu chi tiết trong bài tiếp theo.

Xây dựng cơ sở cho các không gian con của S

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 21: Xử lý tín hiệu số (tiếp theo)

Lesson Attachments

Xây dựng cơ sở cho các không gian con của S

Để lại một bình luận Hủy