Bài giảng 22: Tính độc lập tuyến tính trong không gian S của các tín hiệu

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Tiếp tục nghiên cứu về các tín hiệu rời rạc theo thời gian, trong phần này, chúng ta khám phá phương trình sai phân – một công cụ quan trọng được sử dụng để lọc dữ liệu chứa trong tín hiệu. Ngay cả khi một phương trình vi phân được sử dụng để mô hình hóa một quá trình liên tục, nghiệm số thường được tạo ra từ một phương trình sai phân liên quan. Phần này nhấn mạnh một số tính chất cơ bản của phương trình sai phân tuyến tính, được giải thích bằng đại số tuyến tính.

Tính độc lập tuyến tính trong không gian $\mathbb{S}$ của các tín hiệu

Để đơn giản hóa ký hiệu, chúng ta xét một tập hợp gồm ba tín hiệu trong $\mathbb{S}$ , cụ thể là ${u_k},{v_k}$ , và ${w_k}$ . Chúng được gọi là tuyến tính độc lập khi và chỉ khi phương trình

(1) $\begin{equation*}c_1 u_k+c_2 v_k+c_3 w_k=0\end{equation*}$

với mọi $k$ .

suy ra $c_1=c_2=c_3=0$ . Cụm từ “với mọi $k$ ” có nghĩa là với mọi số nguyên – cả dương, âm và không. Người ta cũng có thể xét các tín hiệu bắt đầu từ $k=0$ , khi đó, “với mọi $k$ ” có nghĩa là với mọi số nguyên $k\geq 0$ .

Giả sử $c_1, c_2, c_3$ thỏa mãn phương trình (1). Khi đó, phương trình (1) đúng với bất kỳ ba giá trị liên tiếp của kk, chẳng hạn như $k,k+1$ , và $k+2$ . Do đó, phương trình (1) dẫn đến

$c_1 u_{k+1}+c_2 v_{k+1}+c_3 w_{k+1}=0$ với mọi $k$

và

$c_1 u_{k+2}+c_2 v_{k+2}+c_3 w_{k+2}=0$ với mọi $k$

Vì vậy, các hệ số $c_1, c_2, c_3$ phải thỏa mãn hệ phương trình

(2) $\begin{equation*}\begin{bmatrix}u_k&v_k&w_k\\u_{k+1}&v_{k+1}&w_{k+1}\\u_{k+2}&v_{k+2}&w_{k+2}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\end{equation*}$

với mọi $k$ .

Ma trận hệ số trong hệ phương trình này được gọi là ma trận Casorati $C(k)$ của các tín hiệu, và định thức của ma trận này được gọi là Casoratian của ${u_k},{v_k}$ , và ${w_k}$ .

Nếu ma trận Casorati khả nghịch đối với ít nhất một giá trị của $k$ , thì phương trình (2) sẽ suy ra rằng $c_1=c_2=c_3=0$ , điều này chứng tỏ rằng ba tín hiệu trên là tuyến tính độc lập.

Ví dụ 1: Xác minh rằng các tín hiệu $\{1^k\},\{(-2)^k\}$ , và $\{3^k\}$ là các tín hiệu độc lập tuyến tính.

Giải: Ma trận Casorati của ba tín hiệu này là:

$\begin{bmatrix}1^{k}&(-2)^{k}&3^{k}\\1^{k+1}&(-2)^{k+1}&3^{k+1}\\1^{k+2}&(-2)^{k+2}&3^{k+2}\\\end{bmatrix}$

Có thể dễ dàng kiểm tra rằng ma trận này luôn khả nghịch bằng cách thực hiện các phép biến đổi hàng. Tuy nhiên, cách nhanh hơn là thay một giá trị cụ thể của $k$ , chẳng hạn như $k=0$ , và thực hiện phép biến đổi hàng trên ma trận số:

Ma trận Casorati khả nghịch tại $k=0$ . Do đó, các tín hiệu $\{1^k\},\{(-2)^k\}$ , và $\{3^k\}$ là các tín hiệu độc lập tuyến tính.

Nếu ma trận Casorati không khả nghịch, các tín hiệu liên quan có thể hoặc không tuyến tính phụ thuộc. Tuy nhiên, có thể chứng minh rằng nếu tất cả các tín hiệu đều là nghiệm của cùng một phương trình sai phân thuần nhất (được mô tả bên dưới), thì hoặc ma trận Casorati khả nghịch với mọi $k$ và các tín hiệu là tuyến tính độc lập, hoặc ma trận Casorati không khả nghịch với mọi $k$ và các tín hiệu là tuyến tính phụ thuộc.

Tính độc lập tuyến tính trong không gian $\mathbb{S}$ của các tín hiệu

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 22: Tính độc lập tuyến tính trong không gian S của các tín hiệu

Lesson Attachments

Tính độc lập tuyến tính trong không gian của các tín hiệu

Để lại một bình luận Hủy

Tính độc lập tuyến tính trong không gian $\mathbb{S}$ của các tín hiệu