Bài giảng 23: Phương trình sai phân tuyến tính

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Cho các hệ số thực $a_0,\dots,a_n$ , với $a_0$ và $a_n$ khác 0, và cho một tín hiệu $\{z_k\}$ , phương trình

(3) $\begin{equation*}a_0 y_{k+n}+a_1 y_{k+n-1}+\dots+a_{n-1}y_{k+1}+a_n y_k=z_k\end{equation*}$

với mọi $k$ .

(3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính (hoặc phương trình truy hồi tuyến tính) bậc $n$ . Để đơn giản, người ta thường chọn $a_0=1$ . Nếu $\{z_k\}$ là dãy số 0, phương trình được gọi là phương trình thuần nhất; ngược lại, nếu $\{z_k\}$ khác 0, phương trình là không thuần nhất.

Trong xử lý tín hiệu số (DSP), một phương trình sai phân như (3) mô tả một bộ lọc tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI), và các hệ số $a_0,\dots,a_n$ được gọi là hệ số bộ lọc.

Các phép biến đổi LTI dạng dịch chuyển $S$ được định nghĩa như sau:

$S(\{y_k\})=\{y_{k-1}\}$ (dịch lùi một bước)
$S^{-1}(\{y_k\})=\{y_{k+1}\}$ (dịch tiến một bước)

Những phép biến đổi này đã được giới thiệu trong ví dụ 1 của bài trước và được sử dụng ở đây để mô tả bộ lọc LTI liên quan đến phương trình sai phân tuyến tính. Ta định nghĩa toán tử

$T=a_0 S^{-n}+a_1 S^{-n+1}+\dots+a_{n-1}S^{-1}+a_n S^0.$

Lưu ý rằng nếu $\{z_k\}=T(\{y_k\})$ , thì với mọi $k$ , phương trình (3) mô tả mối quan hệ giữa các phần tử trong hai tín hiệu.

Ví dụ 2: Hãy đưa hai tín hiệu khác nhau vào bộ lọc:

$.35 y_{k+2}+.5 y_{k+1}+.35 y_k=z_k$

Ở đây, $.35$ là ký hiệu viết tắt của ${\sqrt{2}}/{4}$ . Tín hiệu đầu tiên được tạo ra bằng cách lấy mẫu tín hiệu liên tục $y=\cos(\pi t/4)$ tại các giá trị nguyên của $t$ , như trong hình 1(a). Tín hiệu rời rạc thu được là:

$\{y_k\}=(\dots,\cos(0),\cos(\pi/4),\cos(2\pi/4),\cos(3\pi/4),\dots)$

Để đơn giản, ta viết $\pm 0.7$ thay cho $\pm{\sqrt{2}}/{2}$ , do đó:

$\{y_k\}=(\dots,1,0.7,0,-0.7,-1,-0.7,0,0.7,1,0.7,0,\dots)$

Hình 1: Các tín hiệu rời rạc với các tần số khác nhau.

Bảng 1 hiển thị quá trình tính toán dãy đầu ra $\{z_k\}$ , trong đó $.35(.7)$ là ký hiệu viết tắt của $(\sqrt{2}/4)(\sqrt{2}/2)=.25$ . Kết quả đầu ra chính là dãy $\{y_k\}$ được dịch đi một đơn vị.

BẢNG 1: Tính Toán Đầu Ra Của Bộ Lọc

$k$	$y_{k}$	$y_{k+1}$	$y_{k+2}$	$.35y_{k}$	$+.5y_{k+1}$	$+.35y_{k+2}$	$=z_{k}$
$0$	$1$	$.7$	$0$	$.35(1)$	$+.5(.7)$	$+.35(0)$	$=.7$
$1$	$.7$	$0$	$-.7$	$.35(.7)$	$+.5(0)$	$+.35(-.7)$	$=0$
$2$	$0$	$-.7$	$-.1$	$.35(0)$	$+.5(-.7)$	$+.35(-1)$	$=-.7$
$3$	$-.7$	$-.1$	$-.7$	$.35(-.7)$	$+.5(-1)$	$+.35(-.7)$	$=-1$
$4$	$-.1$	$-.7$	$0$	$.35(-1)$	$+.5(-.7)$	$+.35(0)$	$=-.7$
$5$	$-.7$	$0$	$.7$	$.35(-.7)$	$+.5(0)$	$+.35(.7)$	$=0$
$\vdots$	$\vdots$						$\vdots$

Một tín hiệu đầu vào khác được tạo ra từ tín hiệu có tần số cao hơn $y=\cos(3\pi t/4)$ , được minh họa trong Hình 1(b). Khi lấy mẫu với cùng tốc độ như trước, ta thu được một dãy đầu vào mới:

$\{w_k\}=(\dots,1,-.7,0,.7,-1,.7,0,-.7,1,-.7,0,\dots)$

Khi $\{w_k\}$ được đưa vào bộ lọc, đầu ra thu được là dãy số không. Bộ lọc này được gọi là bộ lọc thông thấp (low-pass filter), cho phép $\{y_k\}$ đi qua nhưng chặn tín hiệu có tần số cao hơn $\{w_k\}$ .

Trong nhiều ứng dụng, dãy $\{z_k\}$ được xác định trước ở vế phải của phương trình sai phân (3), và một dãy $\{y_k\}$ thỏa mãn (3) được gọi là nghiệm của phương trình. Ví dụ tiếp theo sẽ minh họa cách tìm nghiệm cho một phương trình thuần nhất.

Ví dụ 3: Nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất thường có dạng $\{y_k\}=\{r^k\}$ với một số $r$ . Hãy tìm một số nghiệm của phương trình:

(4) $\begin{equation*}y_{k+3}-2y_{k+2}-5y_{k+1}+6y_k=0\end{equation*}$

với mọi $k$ .

Giải: Thay $y_k=r^k$ vào phương trình và phân tích vế trái:

(5) $\begin{equation*}r^{k+3}-2r^{k+2}-5r^{k+1}+6r^k=0\end{equation*}$

$r^k(r^3-2r^2-5r+6)=0$

(6) $\begin{equation*}r^k(r-1)(r+2)(r-3)=0\end{equation*}$

Vì (5) tương đương với (6), nên $\{r^k\}$ thỏa mãn phương trình sai phân (4) nếu và chỉ nếu $r$ là nghiệm của phương trình đặc trưng (6). Do đó, các dãy số $\{1^k\}$ , $\{(-2)^k\}$ , và $\{3^k\}$ đều là nghiệm của (4).

Ví dụ, để kiểm tra $\{3^k\}$ là một nghiệm của (4), ta tính:

$3^{k+3}-2\cdot 3^{k+2}-5\cdot 3^{k+1}+6\cdot 3^k=3^k(27-18-15+6)=0$

với mọi $k$ .

Nhìn chung, một dãy số khác không $\{r^k\}$ thỏa mãn phương trình sai phân thuần nhất:

$y_{k+n}+a_1 y_{k+n-1}+\dots+a_{n-1}y_{k+1}+a_n y_k=0$

với mọi $k$ .

nếu và chỉ nếu $r$ là nghiệm của phương trình đặc trưng:

$r^n+a_1 r^{n-1}+\dots+a_{n-1}r+a_n=0.$

Chúng ta sẽ không xét trường hợp $r$ là nghiệm bội của phương trình đặc trưng. Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức, phương trình sai phân sẽ có nghiệm dưới dạng $\{s^k\cos k\omega\}$ và $\{s^k\sin k\omega\}$ , với các hằng số $s$ và $\omega$ . Điều này đã xuất hiện trong ví dụ 2.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 23: Phương trình sai phân tuyến tính

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy