Bài giảng 24: Tập Nghiệm Của Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn)

Cho các hệ số $a_1,\dots,a_n$ , nhớ rằng phép biến đổi LTI $T:\mathbb{S}\to\mathbb{S}$ được cho bởi

$T=a_0 S^{-n}+a_1 S^{-n+1}+\dots+a_{n-1}S^{-1}+a_n S^0$

biến đổi một tín hiệu $\{y_k\}$ thành tín hiệu $\{w_k\}$ được xác định bởi

$w_k=y_{k+n}+a_1 y_{k+n-1}+\dots+a_{n-1}y_{k+1}+a_n y_k,\quad\forall k$

Điều này có nghĩa là tập nghiệm của phương trình thuần nhất

$y_{k+n}+a_1 y_{k+n-1}+\dots+a_{n-1}y_{k+1}+a_n y_k=0,\quad\forall k$

chính là hạt nhân (kernel) của $T$ và mô tả các tín hiệu bị lọc ra hoặc được biến đổi thành tín hiệu không. Vì hạt nhân của bất kỳ ánh xạ tuyến tính nào có miền là $\mathbb{S}$ luôn là một không gian con của $\mathbb{S}$ , nên tập nghiệm của một phương trình thuần nhất cũng là một không gian con. Do đó, bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của các nghiệm cũng là một nghiệm.

Định lý tiếp theo, dù đơn giản nhưng mang tính nền tảng, sẽ cung cấp thêm thông tin về tập nghiệm của phương trình sai phân.

Định lý 19

Nếu $a_n\neq 0$ và nếu $\{z_k\}$ được cho trước, thì phương trình

(7) $\begin{equation*}y_{k+n}+a_1 y_{k+n-1}+\dots+a_{n-1}y_{k+1}+a_n y_k=\xi_k,\quad\forall k\end{equation*}$

có nghiệm duy nhất khi các giá trị ban đầu $y_0,\dots,y_{n-1}$ được xác định.

Chứng minh: Nếu $y_0,\dots,y_{n-1}$ được cho, ta có thể sử dụng công thức truy hồi để xác định các giá trị tiếp theo. Cụ thể, ta xác định

$y_n=z_0-[a_1 y_{n-1}+\dots+a_{n-1}y_1+a_n y_0]$

Với các giá trị $y_1,\dots,y_{n$ đã biết, ta tiếp tục xác định $y_{n+1}$ bằng cách áp dụng cùng công thức. Tổng quát, sử dụng quan hệ truy hồi:

(8) $\begin{equation*}y_{n+k}=z_k-[a_1 y_{k+n-1}+\dots+a_n y_k]\end{equation*}$

Để xác định $y_{n+k}$ với $k<0$ , ta sử dụng:

(9) $\begin{equation*}y_k=\frac{1}{a_{n}}z_k-\frac{1}{a_{n}}[y_{k+n}+a_1 y_{k+n-1}+\dots+a_{n-1}y_{k+1}]\end{equation*}$

Quy trình này tạo ra một tín hiệu thỏa mãn phương trình sai phân (7). Ngược lại, bất kỳ tín hiệu nào thỏa mãn phương trình (7) với mọi $k$ chắc chắn thỏa mãn (8) và (9), do đó nghiệm của phương trình (7) là duy nhất.

Định lý 20 Tập hợp $H$ gồm tất cả các nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp $n$ :

(10) $\begin{equation*}y_{k+n}+a_1 y_{k+n-1}+\dots+a_{n-1}y_{k+1}+a_n y_k=0,\quad\forall k\end{equation*}$

là một không gian vector có số chiều bằng $n$ .

Chứng minh: Như đã đề cập trước đó, $H$ là một tập con của $\mathbb{S}$ và là hạt nhân (kernel) của một phép biến đổi tuyến tính, do đó $H$ là một không gian con của $\mathbb{S}$ .

Với mỗi dãy $\{y_k\}$ trong $H$ , ta định nghĩa ánh xạ $F$ từ $H$ vào không gian $\mathbb{R}^n$ như sau:

$F({y_k})=(y_0,y_1,\dots,y_{n-1})$

Dễ thấy rằng $F$ là một phép biến đổi tuyến tính.

Theo Định lý 19, với mỗi vector $(y_0,y_1,\dots,y_{n-1})\in\mathbb{R}^n$ , tồn tại duy nhất một dãy $\{y_k\}\in H$ sao cho $F(\{y_k\})$ khớp với vector đã cho. Điều này có nghĩa là $F$ là một đẳng cấu giữa $H$ và $\mathbb{R}^n$ .

Do đó, số chiều của $H$ bằng số chiều của $\mathbb{R}^n$ , tức là: $\dim H=\dim\mathbb{R}^n=n$

Ví dụ 4: Tìm một cơ sở cho tập nghiệm của phương trình sai phân

$y_{k+3}-2y_{k+2}-5y_{k+1}+6y_k=0,\quad\forall k$

Giải: Nhờ kiến thức từ đại số tuyến tính, ta biết rằng các dãy $\{1^k\},\{(-2)^k\}$ và $\{3^k\}$ là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình trên.

Thông thường, việc kiểm tra trực tiếp xem một tập hợp tín hiệu có sinh ra không gian nghiệm hay không có thể rất khó. Nhưng ở đây, ta có thể xác định dễ dàng nhờ hai định lý quan trọng:

Định lý 20 cho thấy không gian nghiệm của phương trình này có số chiều đúng bằng 3.
Định lý cơ sở cho biết rằng một tập hợp gồm $n$ vectơ độc lập tuyến tính trong một không gian $n$ -chiều sẽ tự động tạo thành một cơ sở.

Vì vậy, tập hợp $\{1^k\},\{(-2)^k\}$ và $\{3^k\}$ chính là một cơ sở cho không gian nghiệm.

Một cách tiêu chuẩn để biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình sai phân là xác định một tập hợp cơ bản các nghiệm. Nếu ta tìm được $n$ tín hiệu độc lập tuyến tính thỏa mãn phương trình, chúng sẽ tự động tạo thành một cơ sở cho không gian nghiệm có số chiều $n$ , như đã minh họa trong ví dụ 4.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 24: Tập Nghiệm Của Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy