Bài giảng 25: Phương trình phi đồng nhất

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân phi đồng nhất

(11) $\begin{equation*}y_{k+n}+a_1 y_{k+n-1}+\dots+a_{n-1}y_{k+1}+a_n y_k=z_k,\quad\forall k\end{equation*}$

có thể được viết dưới dạng một nghiệm riêng của phương trình (11) cộng với một tổ hợp tuyến tính tùy ý của một tập hợp nghiệm cơ bản của phương trình đồng nhất tương ứng (10).

Thực tế này tương tự với kết quả ta đã biết từ phần trước, trong đó tập nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ và $A\mathbf{x}=\mathbf0b}$ là các không gian song song. Cả hai kết quả đều có cùng một giải thích: ánh xạ $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ là một ánh xạ tuyến tính, và ánh xạ biến đổi tín hiệu $\{y_k\}$ thành tín hiệu $\{z_k\}$ trong phương trình (11) cũng là một ánh xạ tuyến tính.

Ví dụ 5: Xác minh rằng tín hiệu $\{y_k\}=\{k^2\}$ thỏa mãn phương trình sai phân

(12) $\begin{equation*}y_{k+2}-4y_{k+1}+3y_k=-4k,\quad\forall k\end{equation*}$

Sau đó, tìm mô tả của tất cả các nghiệm của phương trình này.

Giải: Thay $k^2$ vào $y_k$ trong vế trái của phương trình (12):

$(k+2)^2-4(k+1)^2+3k^2=(k^2+4k+4)-4(k^2+2k+1)+3k^2=-4k$

Vậy $k^2$ thực sự là một nghiệm của phương trình (12).

Bước tiếp theo là giải phương trình đồng nhất

(13) $\begin{equation*}y_{k+2}-4y_{k+1}+3y_k=0,\quad\forall k\end{equation*}$

Phương trình đặc trưng là

r^2 – 4r + 3 = (r – 1)(r – 3) = 0

Nghiệm của phương trình là $r=1,3$ . Do đó, hai nghiệm của phương trình sai phân đồng nhất là $\{1^k\}$ và $\{3^k\}$ .

Chúng rõ ràng không phải bội số của nhau, nên chúng là các tín hiệu độc lập tuyến tính. Theo Định lý 20, không gian nghiệm có chiều bằng 2, vậy $\{1^k\}$ và $\{3^k\}$ tạo thành một cơ sở cho tập nghiệm của phương trình (13).

Dịch tập nghiệm đó theo một nghiệm riêng của phương trình phi đồng nhất (12), ta thu được nghiệm tổng quát của (12):

$\{k^2\}+c_1\{1^k\}+c_2\{3^k\},$ hoặc $\{k^2+c_1+c_2 3^k\}$

Hình 2 minh họa trực quan hai tập nghiệm trên, trong đó mỗi điểm tương ứng với một tín hiệu trong $\mathbb{S}$ .

Hình 2: Tập nghiệm của các phương trình sai phân (12) và (13).

Quy Đổi Thành Hệ Phương Trình Sai Phân Bậc Nhất

Một cách tiếp cận hiện đại để nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc nn là thay thế nó bằng một hệ phương trình sai phân bậc nhất tương đương, có dạng:

$\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k,\quad\forall k$

trong đó, các vectơ $\mathbf{x}_k\in\mathbb{R}^n$ và $A$ là một ma trận vuông $n\times n$ .

Ví dụ 6: Viết phương trình sai phân sau dưới dạng hệ phương trình bậc nhất:

$y_{k+3}-2y_{k+2}-5y_{k+1}+6y_k=0,\quad\forall k$

Giải: Với mỗi $k$ , đặt:

$\mathbf{x}_k=\begin{bmatrix}y_k\\y_{k+1}\\y_{k+2}\end{bmatrix}$

Từ phương trình sai phân đã cho, ta có:

$y_{k+3}=-6y_k+5y_{k+1}+2y_{k+2}$

Suy ra:

$\mathbf{x}_{k+1}=\begin{bmatrix}y_{k+1}\\y_{k+2}\\y_{k+3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&+y_{k+1}&+0\\0&+0&+y_{k+2}\\-6y_k&+5y_{k+1}&+2y_{k+2}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6&5&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_k\\y_{k+1}\\y_{k+2}\end{bmatrix}$

Do đó, ta có hệ phương trình bậc nhất:

$\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k,\quad\forall k$

với:

$A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6&5&2\end{bmatrix}$

Nói chung, phương trình

$y_{k+n}+a_1 y_{k+n-1}+\dots+a_{n-1}y_{k+1}+a_n y_k=0\quad\forall k$

có thể được viết lại dưới dạng $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k\quad\forall k,$ trong đó

$\mathbf{x}_k=\begin{bmatrix}y_k\\y_{k+1}\\\vdots\\y_{k+n-1}\end{bmatrix},\quad A=\begin{bmatrix}0&1&0&\dots&0\\0&0&1&\dots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\dots&1\\-a_n&-a_{n-1}&-a_{n-2}&\dots&-a_1\end{bmatrix}.$

Quy Đổi Thành Hệ Phương Trình Sai Phân Bậc Nhất

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 25: Phương trình phi đồng nhất

Lesson Attachments

Quy Đổi Thành Hệ Phương Trình Sai Phân Bậc Nhất

Để lại một bình luận Hủy