Baì giảng 3: Không Gian Null

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Trong các ứng dụng của đại số tuyến tính, không gian con của $\mathbb{R}^n$ thường xuất hiện theo hai cách:

Dạng 1: Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Dạng 2: Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số vector được xác định trước.

Trong phần này, chúng ta sẽ so sánh và đối chiếu hai cách mô tả không gian con này, giúp hiểu sâu hơn về khái niệm không gian con. Trên thực tế, chúng ta đã làm việc với không gian con ngay từ những bài đầu, chỉ là chưa đặt tên cụ thể cho chúng.

Điểm mới chính trong phần này là thuật ngữ. Phần kết thúc sẽ thảo luận về hạt nhân (kernel) và ảnh (range) của một phép biến đổi tuyến tính.

Không Gian Null của Ma Trận

Xét hệ phương trình thuần nhất sau:

(1) $\begin{equation*}\begin{matrix}x_1-3x_2-2x_3&=0\\-5x_1+9x_2+x_3&=0\\\end{matrix}\end{equation*}$

Dưới dạng ma trận, hệ phương trình này có thể viết là $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ , trong đó:

(2) $\begin{equation*}A=\begin{bmatrix}1&-3&-2\\-5&9&1\end{bmatrix}\end{equation*}$

Tập hợp tất cả các vector $\mathbf{x}$ thỏa mãn phương trình (1) được gọi là tập nghiệm của hệ (1). Thay vì chỉ xem tập nghiệm này là một tập hợp thuần túy, ta có thể liên hệ nó trực tiếp với ma trận $A$ . Tập hợp tất cả các $\mathbf{x}$ thỏa mãn $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ được gọi là không gian null (null space) của ma trận $A$ .

Định nghĩa

Không gian null của một ma trận , ký hiệu là , là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình thuần nhất . Dưới dạng ký hiệu tập hợp:

Một cách diễn giải khác, $\text{Nul}\:A$ là tập hợp tất cả các vector $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ được ánh xạ vào vector không $0\in\mathbb{R}^m$ thông qua phép biến đổi tuyến tính $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ . Xem hình 1.

Ví dụ 1: Cho ma trận $A$ như (2) và vector $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}5\\3\\-2\end{bmatrix}$ . Kiểm tra xem $\mathbf{u}$ có thuộc $\text{Nul}\:A$ hay không.

Giải: Để kiểm tra $\mathbf{u}$ có thỏa mãn phương trình $A\mathbf{u}=\mathbf{0}$ hay không, chỉ cần tính $A\mathbf{u}$ .

$A\mathbf{u}=\begin{bmatrix}1&-3&-2\\-5&9&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5\\3\\-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5-9+4\\-25+27-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$

Do đó, $\mathbf{u}$ thuộc $\text{Nul}\:A$ .

Thuật ngữ “không gian” trong không gian null là hợp lý vì không gian null của một ma trận luôn là một không gian vector, như sẽ được chứng minh trong định lý tiếp theo.

Định lý 2

Không gian null của một ma trận  là một không gian con của . Nói cách khác, tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình thuần nhất , với  phương trình và  ẩn, là một không gian con của .

Chứng minh: Rõ ràng, $\text{Nul}\:A$ là một tập con của $\mathbb{R}^n$ vì ma trận $A$ có $n$ cột. Ta cần chứng minh rằng $\text{Nul}\:A$ thỏa mãn ba tính chất của không gian con:

Chứa vector không: Vì $A\mathbf{0}=\mathbf{0}$ , nên $\mathbf{0}\in\text{Nul}\:A.$ .
Đóng dưới phép cộng: Giả sử $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là hai vector bất kỳ thuộc $\text{Nul}\:A$ , tức là:

$A\mathbf{u}=\mathbf{0}$ và $A\mathbf{v}=\mathbf{0}$

Ta cần chứng minh rằng $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in\text{Nul}\:A$ , tức là $A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=0$ . Sử dụng tính chất của phép nhân ma trận:

$A(\mathbf{u+v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}=\mathbf{0+0}=\mathbf{0}$

Do đó, $\mathbf{u+v}\in\text{Nul}\:A$ .

Đóng dưới phép nhân vô hướng: Với mọi số vô hướng $c$ , ta có:

$A(c\mathbf{u})=c(A\mathbf{u})=c(\mathbf{0})=\mathbf{0}$

Do đó, $c\mathbf{u}\in\text{Nul}\:A.$

Vì cả ba điều kiện đều thỏa mãn, ta kết luận rằng $\text{Nul}\:A$ là một không gian con của $\mathbb{R}^n$ .

Ví dụ 2: Cho $H$ là tập hợp tất cả các vector trong $\mathbb{R}^4$ có tọa độ $a,\,b,\,c,\,d$ thỏa mãn các phương trình: $a-2b+5c=d$ và $c-a=b$ .

Chứng minh rằng $H$ là một không gian con của $\mathbb{R}^4$ .

Giải: Ta biến đổi lại hệ phương trình để đưa về dạng thuần nhất:

$\begin{matrix}a-2b+5c-d&=0\\-a-b+c\qquad&=0\\\end{matrix}$

Dễ thấy rằng tập hợp $H$ chính là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên.

Theo định lý 2, tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn là một không gian con của $\mathbb{R}^n$ . Do đó, $H$ là một không gian con của $\mathbb{R}^4$ .

Lưu ý quan trọng

Các phương trình xác định tập hợp $H$ phải là phương trình thuần nhất. Nếu hệ phương trình không thuần nhất, thì tập nghiệm không thể là không gian con, vì vector không $(0,0,0,0)$ có thể không phải là một nghiệm.
Trong một số trường hợp, tập nghiệm có thể rỗng, và khi đó nó không thể là một không gian con.

Mô tả tường minh của Không gian $\text{Nul}\:A.$

Không có mối quan hệ rõ ràng giữa các vector trong $\text{Nul}\:A$ và các phần tử của ma trận $A$ . Ta nói rằng $\text{Nul}\:A$ được xác định một cách ngầm định, vì nó được định nghĩa thông qua một điều kiện cần kiểm tra: $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ . Không có danh sách cụ thể hoặc mô tả tường minh nào về các phần tử trong $\text{Nul}\:A$ được đưa ra.

Ví dụ 3: Tìm một tập sinh cho không gian null của ma trận

$A=\begin{bmatrix}-3&6&-1&1&-7\\1&-2&2&3&-1\\2&-4&5&8&-4\\\end{bmatrix}$

Giải: Bước đầu tiên là tìm nghiệm tổng quát của phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ theo các biến tự do. Ta thực hiện phép khử Gauss trên ma trận mở rộng $\begin{bmatrix}A&\mathbf{0}\\\end{bmatrix}$ để đưa về dạng bậc thang rút gọn, từ đó biểu diễn các biến cơ bản theo các biến tự do:

$\begin{matrix}\begin{bmatrix}1&-2&0&-1&3&0\\0&0&1&2&-2&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{bmatrix},&\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}\quad-x_{4}+3x_{5}&=0\\\qquad\:\quad x_{3}+2x_{4}-2x_{5}&=0\\\qquad\qquad\qquad\:\qquad 0&=0\\\end{matrix}\\\end{matrix}$

trong đó $x_2,\,x_4,\,x_5$ là các biến tự do.

Tiếp theo, ta phân tích vectơ nghiệm tổng quát dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ, trong đó các hệ số là các biến tự do:

(3) $\begin{equation*}=x_2\mathbf{u}+x_4\mathbf{v}+x_5\mathbf{w}\end{equation*}$

Mọi tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{u,v}$ và $\mathbf{w}$ đều là một phần tử của $\text{Nul}\:A$ và ngược lại. Do đó, tập $\left\{\mathbf{u,v,w}\right\}$ là một tập sinh cho $\text{Nul}\:A$ .

Hai Điểm Quan Trọng Cần Lưu Ý

Kết quả của ví dụ 3 có thể áp dụng cho tất cả các bài toán dạng này khi $\text{Nul}\:A$ chứa các vectơ khác không. Ta sẽ sử dụng những điều sau trong các phần sau:

Tập sinh thu được luôn độc lập tuyến tính, vì các biến tự do là các hệ số của các vectơ sinh. Chẳng hạn, nếu ta xét các phần tử thứ 2, 4 và 5 trong vectơ nghiệm, ta thấy rằng phương trình $x_2\mathbf{u}+x_4\mathbf{v}+x_5\mathbf{w}=0$ chỉ có nghiệm duy nhất khi $x_2=x_4=x_5=0$ .
Khi $\text{Nul}\:A$ chứa các vectơ khác không, số lượng vectơ trong tập sinh của $\text{Nul}\:A$ đúng bằng số lượng biến tự do trong phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ .

Không Gian Null của Ma Trận

Hai Điểm Quan Trọng Cần Lưu Ý

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Baì giảng 3: Không Gian Null

Lesson Attachments

Không Gian Null của Ma Trận

Hai Điểm Quan Trọng Cần Lưu Ý

Để lại một bình luận Hủy