Bài giảng 4: Không Gian Cột của Một Ma Trận

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Một không gian con quan trọng khác liên quan đến một ma trận là không gian cột của nó. Không giống như không gian null, không gian cột được xác định một cách tường minh thông qua các tổ hợp tuyến tính.

Định nghĩa  Không gian cột của một ma trận , ký hiệu là , là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các cột của . Nếu , thì: 

Vì tập hợp các tổ hợp tuyến tính của tạo thành một không gian con (theo định lý 1), nên định lý tiếp theo có thể được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của và thực tế rằng các cột của thuộc về

Định lý 3

Không gian cột của một ma trận  là một không gian con của 

Lưu ý rằng một vector bất kỳ trong có thể được viết dưới dạng với một số , vì ký hiệu biểu diễn một tổ hợp tuyến tính của các cột của . Nghĩa là:

Ký hiệu đối với các vector trong cũng cho thấy rằng chính là phạm vi ảnh (range) của ánh xạ tuyến tính . Chúng ta sẽ quay lại quan điểm này vào cuối phần này.

Ví dụ 4: Tìm một ma trận sao cho

Giải: Trước tiên, viết dưới dạng một tập hợp các tổ hợp tuyến tính.

Sau đó, sử dụng các vector trong tập sinh làm các cột của .

Giả sử . Khi đó: .

Như đã đề cập trong định lý 4 , các cột của span nếu và chỉ nếu phương trình có nghiệm với mọi trong . Chúng ta có thể phát biểu lại điều này như sau:

Không gian cột của một ma trận  chính là toàn bộ  nếu và chỉ nếu phương trình  có nghiệm với mọi  trong .