Bài giảng 6: Hạt nhân và Phạm vi của một Biến đổi Tuyến tính

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé! )

Các không gian con của không gian vectơ khác ngoài $\mathbb{R}^n$ thường được mô tả bằng một phép biến đổi tuyến tính thay vì một ma trận. Để làm rõ điều này, ta tổng quát hóa định nghĩa đã được đề cập trong bài trước.

Sự tương phản giữa $\text{Nul}\:A$ và $\text{Col}\:A$ đối với ma trận $A$ có kích thước $m\times n$

$\text{Nul}\:A$	$\text{Col}\:A$
$\text{Nul}\:A$ là một không gian con của $\mathbb{R}^n$ .	$\text{Col}\:A$ là một không gian con của $\mathbb{R}^m$ .
$\text{Nul}\:A$ được xác định một cách gián tiếp; tức là, chỉ có điều kiện $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ mà các vectơ trong $\text{Nul}\:A$ phải thỏa mãn.	$\text{Col}\:A$ được xác định một cách tường minh; tức là, ta biết cách xây dựng các vectơ trong $\text{Col}\:A$ .
Việc tìm các vectơ trong $\text{Nul}\:A$ mất thời gian, cần thực hiện phép khử hàng trên $\begin{bmatrix}A&\mathbf{0}\\\end{bmatrix}$ .	Việc tìm các vectơ trong $\text{Col}\:A$ rất dễ dàng. Các cột của $A$ được hiển thị sẵn; các vectơ khác có thể được tạo từ chúng.
Không có mối quan hệ rõ ràng giữa $\text{Nul}\:A$ và các phần tử của $A$ .	Có một mối quan hệ rõ ràng giữa $\text{Col}\:A$ và các phần tử trong $A$ , vì mỗi cột của $A$ đều thuộc $\text{Col}\:A$ .
Một vectơ điển hình $\mathbf{v}$ trong $\text{Nul}\:A$ có tính chất $A\mathbf{v}=\mathbf{0}$ .	Một vectơ điển hình $\mathbf{v}$ trong $\text{Col}\:A$ có tính chất là phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{v}$ có nghiệm.
Khi có một vectơ cụ thể $\mathbf{v}$ , ta có thể dễ dàng xác định liệu vv có thuộc $\text{Nul}\:A$ hay không bằng cách tính $A\mathbf{v}$ .	Khi có một vectơ cụ thể $\mathbf{v}$ , có thể mất thời gian để xác định liệu vv có thuộc $\text{Col}\:A$ hay không. Cần thực hiện phép khử hàng trên $\begin{bmatrix}A&\mathbf{v}\\\end{bmatrix}$ .
$\text{Nul}A=\{0\}$ khi và chỉ khi phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ chỉ có nghiệm tầm thường.	$\text{Col}\:A=\mathbb{R}^m$ khi và chỉ khi phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có nghiệm với mọi $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m$ .
$\text{Nul}A=\{0\}$ khi và chỉ khi phép biến đổi tuyến tính $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ là đơn ánh (one-to-one).	$\text{Col}\:A=\mathbb{R}^m$ khi và chỉ khi phép biến đổi tuyến tính $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ ánh xạ $\mathbb{R}^n$ lên toàn bộ $\mathbb{R}^m$ .

Định nghĩa

Một phép biến đổi tuyến tính  từ một không gian vectơ  vào một không gian vectơ  là một quy tắc gán cho mỗi vectơ  trong  một vectơ duy nhất  trong , sao cho:

(i.)  với .
(ii.)   và mọi số vô hướng .

Hạt nhân (hay không gian null) của $T$ là tập hợp tất cả các vectơ uu trong $V$ sao cho $T(\mathbf{x})=0$ (vectơ không trong $W$ ). Ảnh (hay miền giá trị) của $T$ là tập hợp tất cả các vectơ trong $W$ có dạng $T(\mathbf{x})$ với một số $\mathbf{x}$ trong $V$ .

Nếu $T$ xuất hiện dưới dạng một phép biến đổi ma trận – tức là $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ với một ma trận $A$ – thì hạt nhân và miền giá trị của $T$ chính là không gian null và không gian cột của $A$ , như đã định nghĩa trước đó.

Không khó để chứng minh rằng hạt nhân của $T$ là một không gian con của $V$ . Chứng minh này về cơ bản giống với chứng minh của Định lý 2. Tương tự, miền giá trị của $T$ cũng là một không gian con của $W$ . Xem hình 2.

Hình 2 Các không gian con liên quan đến một phép biến đổi tuyến tính.

Trong các ứng dụng, một không gian con thường xuất hiện dưới dạng hạt nhân hoặc miền giá trị của một phép biến đổi tuyến tính thích hợp. Ví dụ, tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hóa ra chính là hạt nhân của một phép biến đổi tuyến tính. Thông thường, phép biến đổi tuyến tính như vậy được mô tả bằng một hoặc nhiều đạo hàm của một hàm số. Để giải thích chi tiết hơn sẽ đòi hỏi nhiều kiến thức hơn ở giai đoạn này. Vì vậy, chúng ta chỉ xét hai ví dụ. Ví dụ đầu tiên giải thích tại sao phép lấy đạo hàm là một phép biến đổi tuyến tính.

Ví dụ 9: (yêu cầu kiến thức giải tích)

Gọi $V$ là không gian vector của tất cả các hàm số thực $f$ được xác định trên khoảng $[a,b]$ với tính chất khả vi và đạo hàm của chúng là các hàm liên tục trên $[a,b]$ . Gọi $W$ là không gian vector $C[a,b]$ của tất cả các hàm liên tục trên $[a,b]$ , và xét phép biến đổi $D:V\to W$ ánh xạ mỗi hàm $f$ trong $V$ thành đạo hàm của nó $f'$ .

Trong giải tích, hai quy tắc đạo hàm đơn giản là:

$D(f+g)=D(f)+D(g)$ và $D(cf)=cD(f)$

Điều này có nghĩa rằng $D$ là một phép biến đổi tuyến tính.

Có thể chứng minh rằng hạt nhân (kernel) của $D$ là tập hợp các hàm hằng trên $[a,b]$ , và phạm vi (range) của $D$ là tập hợp $W$ của tất cả các hàm liên tục trên $[a,b]$ .

Ví dụ 10: (yêu cầu kiến thức giải tích)

Phương trình vi phân:

(4) $\begin{equation*}y''+\omega^2 y=0\end{equation*}$

trong đó $\omega$ là một hằng số, được sử dụng để mô tả nhiều hệ thống vật lý khác nhau, chẳng hạn như sự dao động của lò xo có tải trọng, chuyển động của con lắc, và điện áp trong mạch điện cảm – tụ điện (LC).

Tập hợp các nghiệm của phương trình (4) chính là hạt nhân (kernel) của phép biến đổi tuyến tính ánh xạ một hàm số $y=f(t)$ thành hàm $f''(t)+\omega^2 f(t)$ . Việc tìm mô tả tường minh của không gian vector này là một bài toán trong phương trình vi phân.

Phân tích kỹ thuật trong thị trường chứng khoán

Một kỹ thuật phổ biến trong thị trường chứng khoán là phân tích kỹ thuật. Xu hướng thống kê thu thập từ hoạt động giao dịch cổ phiếu, chẳng hạn như biến động giá và khối lượng giao dịch, được phân tích. Các nhà phân tích kỹ thuật tập trung vào các mô hình biến động giá cổ phiếu, tín hiệu giao dịch và nhiều công cụ đồ thị phân tích khác để đánh giá sức mạnh hoặc điểm yếu của một chứng khoán.

Một trung bình động (moving average) là một chỉ báo được sử dụng phổ biến trong phân tích kỹ thuật. Nó giúp làm mượt dữ liệu giá bằng cách lọc bỏ các dao động ngẫu nhiên. Trong ví dụ cuối cùng của phần này, chúng ta sẽ xem xét phép biến đổi tuyến tính tạo ra trung bình động hai ngày từ chuỗi “tín hiệu” giá hàng ngày.

Ví dụ 11: Giả sử $\left\{p_k\right\}$ trong tập $\mathbb{S}$ biểu diễn giá của một cổ phiếu được ghi lại hàng ngày trong một khoảng thời gian dài. Lưu ý rằng ta có thể giả định $p_k=0$ khi $k$ nằm ngoài khoảng thời gian đang xét.

Để tạo ra trung bình động hai ngày, ánh xạ $M_2:\mathbb{S}\to\mathbb{S}\$ được định nghĩa bởi $M_2(\left\{p_{k}\right\})=\left\{\frac{p_{k}+p_{k-1}}{2}\right\}$ . Hãy chứng minh rằng $M_2$ là một phép biến đổi tuyến tính và tìm hạt nhân (kernel) của nó.

Giải: Để thấy rằng $M_2$ là một phép biến đổi tuyến tính, ta xét hai chuỗi tín hiệu $\left\{p_k\right\}$ và $\left\{q_k\right\}$ trong $S$ , cùng với một số vô hướng $c$ . Khi đó:

$M_2(\left\{p_k\right\}+\left\{q_k\right\})=M_2(\left\{p_k+q_k\right\})=\left\{\frac{p_k+q_k+p_{k-1}+q_{k-1}}{2}\right\}$

$=\left\{\frac{p_k+p_{k-1}}{2}\right\}+\left\{\frac{q_k+q_{k-1}}{2}\right\}=M_2(\left\{p_k\right\})+M_2(\left\{q_k\right\})$

và

$=M_2(c\left\{p_k\right\})=M_2(\left\{cp_k\right\})=\left\{\frac{cp_k+cp_{k-1}}{2}\right\}=c\left\{\frac{p_k+p_{k-1}}{2}\right\}=cM_2(\left\{p_k\right\})$

Do đó, $M_2$ là một phép biến đổi tuyến tính.

Để tìm hạt nhân (kernel) của $M_2$ , ta cần tìm các giá trị $\left\{p_k\right\}$ thỏa mãn điều kiện: $\left\{\frac{p_k+p_{k-1}}{2}\right\}=0$ với mọi $k$ . Điều này dẫn đến: $p_k=-p_{k-1}$ . Do phương trình này đúng với mọi giá trị nguyên $k$ , ta có thể áp dụng quy nạp: $p_k=-p_{k-1}=(-1)^2 p_{k-2}=(-1)^3 p_{k-3}=\dots$ .

Làm việc từ $k=0$ , ta có thể biểu diễn mọi tín hiệu trong hạt nhân dưới dạng: $p_k=p_0(-1)^k$ , tức là một bội số của dãy dao động $(-1)^k.$

Như vậy, hạt nhân của hàm trung bình động hai ngày bao gồm tất cả các bội số của chuỗi xen kẽ $(-1)^k$ . Điều này cho thấy phép biến đổi trung bình động giúp làm mượt các dao động hàng ngày, nhưng không triệt tiêu xu hướng tổng thể của dữ liệu. Xem hình 3.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 6: Hạt nhân và Phạm vi của một Biến đổi Tuyến tính

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy