Bài giảng 8: Định lý về Tập Sinh của Không Gian Vectơ

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Như chúng ta sẽ thấy, một cơ sở là một tập sinh “hiệu quả” không chứa các vector dư thừa. Trên thực tế, có thể xây dựng một cơ sở từ một tập sinh bằng cách loại bỏ các vector không cần thiết.

Ví dụ 7: Cho các vector

và một không gian con .

Biết rằng , hãy chứng minh rằng:

Sau đó, tìm một cơ sở cho không gian con .

Giải: Mọi vector trong đều thuộc vì:

Bây giờ, xét một vector bất kỳ trong , giả sử: . Thay , vào phương trình trên:

Điều này cho thấy thuộc , tức là mọi vector trong đều có thể biểu diễn bằng tổ hợp tuyến tính của và .

Do đó, và thực chất là cùng một không gian. Vì tập rõ ràng là độc lập tuyến tính, ta kết luận rằng nó là một cơ sở của .

Định lý tiếp theo sẽ tổng quát hóa ví dụ 7.

Định lý 5  Định lý về Tập Sinh

Cho  là một tập trong không gian vector , và cho .

a) Nếu một trong các vector trong  - giả sử  - là một tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại trong , thì tập hợp thu được từ  sau khi loại bỏ  vẫn sinh ra .
b) Nếu , thì tồn tại một tập con của  là một cơ sở của .

Chứng minh

a) Bằng cách sắp xếp lại danh sách các vector trong là một tổ hợp tuyến tính của , tức là:

(3)  

Với bất kỳ thuộc , ta có thể viết:

(4)  

với các số vô hướng . Thay thế biểu thức của từ phương trình (3) vào (4), ta dễ dàng thấy rằng là một tổ hợp tuyến tính của . Do đó, tập sinh ra , bởi vì là một phần tử bất kỳ của .

b) Nếu tập sinh ban đầu độc lập tuyến tính, thì nó đã là một cơ sở của . Ngược lại, nếu một trong các vector trong phụ thuộc vào các vector khác, thì theo phần (a), vector đó có thể bị loại bỏ. Chừng nào tập sinh còn chứa từ hai vector trở lên, ta có thể tiếp tục lặp lại quá trình này cho đến khi tập sinh trở thành một tập độc lập tuyến tính, và do đó là một cơ sở của . Nếu cuối cùng tập sinh bị giảm xuống chỉ còn một vector, thì vector đó sẽ khác không (và do đó là độc lập tuyến tính), vì .