Bài giảng 9: Cơ sở cho Nul A, Col A và Row A

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Chúng ta đã biết cách tìm các vectơ sinh ra không gian null (null space) của một ma trận $A$ . Phần thảo luận trong bài trước đã chỉ ra rằng phương pháp của chúng ta luôn tạo ra một tập hợp độc lập tuyến tính khi Nul $A$ chứa các vectơ khác không. Do đó, trong trường hợp này, phương pháp này cung cấp một cơ sở cho Nul $A$ .

Hai ví dụ tiếp theo mô tả một thuật toán đơn giản để tìm cơ sở cho không gian cột (column space).

Ví dụ 8: Tìm một cơ sở cho Col $B$ , trong đó:

$B=\begin{bmatrix}\mathbf{b_{1}}&\mathbf{b_{2}}&\cdots&\mathbf{b_{5}}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&4&0&2&0\\0&0&1&-1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}$

Giải: Mỗi cột không phải cột trụ của $B$ là một tổ hợp tuyến tính của các cột trụ. Thực tế, ta có: $\mathbf{b}_2=4\mathbf{b}_1$ và $\mathbf{b}_4=2\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_3$ . Theo Định lý về Tập Sinh, ta có thể loại bỏ $\mathbf{b}_2$ và $\mathbf{b}_4$ , và tập $\{\mathbf{b_1,b_3,b_5}\}$ vẫn sinh ra Col $B$ .

Gọi:

$S=\{\mathbf{b_1,b_3,b_5}\}=\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}\right\}$

Vì $\mathbf{b}_1\neq 0$ và không có vectơ nào trong $S$ là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ đứng trước nó, nên $S$ là một tập hợp độc lập tuyến tính. Do đó, $S$ là một cơ sở cho Col $B$ .

Nếu một ma trận $A$ không ở dạng bậc thang rút gọn (reduced echelon form), thì bất kỳ mối quan hệ phụ thuộc tuyến tính nào giữa các cột của $A$ cũng có thể được biểu diễn bằng phương trình: $A\mathbf{x}=0$ , trong đó $\mathbf{x}$ là một vectơ trọng số. (Nếu một số cột không liên quan đến một quan hệ phụ thuộc cụ thể, thì trọng số của chúng bằng 0.)

Khi $A$ được biến đổi về một ma trận $B$ theo dạng bậc thang, các cột của BB có thể hoàn toàn khác với các cột của $A$ . Tuy nhiên, hệ phương trình $A\mathbf{x}=0$ và $B\mathbf{x}=0$ có cùng tập nghiệm.

Nếu $A=[\mathbf{a}_1\quad\dots\quad\mathbf{a}_n]$ và $B=[\mathbf{b}_1\quad\dots\quad\mathbf{b}_n]$ , thì các phương trình vectơ tương ứng là: $x_1\mathbf{a}_1+\dots+x_n\mathbf{a}_n=0$ và $x_1\mathbf{b}_1+\dots+x_n\mathbf{b}_n=0$

vẫn có cùng tập nghiệm. Điều này có nghĩa là các cột của $A$ có chính xác cùng một quan hệ phụ thuộc tuyến tính như các cột của $B$ .

Ví dụ 9: Ta có thể chứng minh rằng ma trận $A$

$A=[\mathbf{a}_1\quad\mathbf{a}_2\quad\dots\quad\mathbf{a}_5]=\begin{bmatrix}1&4&0&2&-1\\3&12&1&5&5\\2&8&1&3&2\\5&20&2&8&8\\\end{bmatrix}$

tương đương hàng với ma trận $B$ trong ví dụ 8. Hãy tìm một cơ sở cho Col $A$ .

Giải: Trong ví dụ 8, ta đã thấy rằng:

$\mathbf{b}_2=4\mathbf{b}_1$ và $\mathbf{b}_4=2\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_3$

Do đó, ta có thể kỳ vọng rằng:

$\mathbf{a}_2=4\mathbf{a}_1$ và $\mathbf{a}_4=2\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_3$

Hãy kiểm tra xem điều này có đúng không!

Như vậy, ta có thể loại bỏ $\mathbf{a}_2$ và $\mathbf{a}_4$ khi chọn một tập sinh tối thiểu cho Col $A$ .

Thực tế, tập hợp $\{\mathbf{a_{1},a_{3},a_{5}}\}$ phải là một tập hợp độc lập tuyến tính, vì bất kỳ quan hệ phụ thuộc tuyến tính nào giữa $\mathbf{a_{1},a_{3},a_{5}}$ cũng sẽ suy ra một quan hệ phụ thuộc tuyến tính giữa $\mathbf{b_{1},b_{3},b_{5}}$ . Nhưng ta biết rằng tập $\{\mathbf{b_{1},b_{3},b_{5}}\}$ là độc lập tuyến tính.

Do đó, $\{\mathbf{a_{1},a_{3},a_{5}}\}$ là một cơ sở cho Col $A$ . Các cột mà chúng ta đã chọn làm cơ sở chính là các cột trụ của $A$ .

Ví dụ 8 và 9 minh họa một thực tế quan trọng sau đây.

Định lý 6

Các cột trụ của một ma trận  tạo thành một cơ sở cho Col .

Chứng minh Lập luận tổng quát sử dụng các phân tích đã đề cập ở trên. Gọi $B$ là dạng bậc thang rút gọn của $A$ .

Tập hợp các cột trụ của $B$ là độc lập tuyến tính, vì không có vectơ nào trong tập hợp này có thể biểu diễn thành một tổ hợp tuyến tính của các vectơ đứng trước nó.
Vì $A$ tương đương hàng với $B$ , nên các cột trụ của $A$ cũng độc lập tuyến tính, bởi vì mọi quan hệ phụ thuộc tuyến tính giữa các cột của $A$ sẽ tương ứng với một quan hệ phụ thuộc tuyến tính giữa các cột của $B$ .
Vì cùng một lý do, mọi cột không phải cột trụ của $A$ đều có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các cột trụ của $A$ .

Do đó, theo Định lý Tập Sinh, ta có thể loại bỏ các cột không phải cột trụ khỏi tập sinh của Col $A$ . Điều này có nghĩa là các cột trụ của $A$ tạo thành một cơ sở cho Col $A$ .

Lưu ý quan trọng

Các cột trụ của một ma trận $A$ có thể nhận biết khi $A$ đã được đưa về dạng bậc thang.
Tuy nhiên, cần sử dụng chính các cột trụ của $A$ làm cơ sở cho Col $A$ , chứ không phải các cột trụ của ma trận bậc thang tương đương.

Lý do: Các phép biến đổi hàng có thể thay đổi không gian cột của ma trận.
Ví dụ, trong ví dụ 8, các cột của ma trận $B$ có giá trị 0 ở phần tử cuối cùng, nên chúng không thể sinh ra toàn bộ không gian cột của ma trận $A$ trong ví dụ 9.

Ngược lại, định lý sau đây cho thấy rằng việc đưa ma trận về dạng bậc thang không làm thay đổi không gian hàng của ma trận.

Định lý 7

Nếu hai ma trận  và  tương đương hàng, thì không gian hàng của chúng là giống nhau. Nếu  ở dạng bậc thang, thì các hàng khác không của  tạo thành một cơ sở cho không gian hàng của cả  và .

Chứng minh

Nếu $B$ được suy ra từ $A$ bằng các phép biến đổi hàng, thì mỗi hàng của $B$ là một tổ hợp tuyến tính của các hàng của $A$ .
Do đó, mọi tổ hợp tuyến tính của các hàng của $B$ cũng sẽ là một tổ hợp tuyến tính của các hàng của $A$ .
Điều này chứng minh rằng không gian hàng của $B$ nằm trong không gian hàng của $A$ .
Vì các phép biến đổi hàng là khả nghịch, lập luận tương tự cho thấy không gian hàng của $A$ cũng là con của không gian hàng của $B$ .
Vậy hai không gian hàng là giống nhau.

Nếu $B$ ở dạng bậc thang, thì các hàng khác không của $B$ là độc lập tuyến tính vì:

Không có hàng khác không nào của $B$ có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các hàng khác không nằm bên dưới nó.
(Áp dụng Định lý 4 cho các hàng khác không của $B$ theo thứ tự ngược lại, tức là hàng đầu tiên của $B$ xét sau cùng.)

Do đó, các hàng khác không của $B$ tạo thành một cơ sở cho không gian hàng của cả $B$ và $A$ .

Ví dụ 10: Tìm một cơ sở cho không gian hàng của ma trận $A$ từ ví dụ 9.

Giải: Để tìm một cơ sở cho không gian hàng, nhớ rằng ma trận $A$ từ ví dụ 9 tương đương hàng với ma trận $B$ từ ví dụ 8.

$A=\begin{bmatrix}1&4&0&2&-1\\3&12&1&5&5\\2&8&1&3&2\\5&20&2&8&8\\\end{bmatrix}\sim B=\begin{bmatrix}1&4&0&2&0\\0&0&1&-1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}$

Theo định lý 7, ba hàng đầu tiên của $B$ tạo thành một cơ sở cho không gian hàng của $A$ (cũng như không gian hàng của $B$ ). Do đó:

Cơ sở cho Row $A$ : $\{(1,4,0,2,0),(0,0,1,-1,0),(0,0,0,0,1)\}$

Lưu ý rằng, không giống như cơ sở của Col $A$ , các cơ sở của Row $A$ và Nul $A$ không có mối liên hệ đơn giản với các phần tử của chính ma trận $A$ .

Hai Cách Nhìn Về Cơ Sở

Khi sử dụng Định lý Tập Sinh, việc loại bỏ các vector khỏi một tập sinh phải dừng lại khi tập hợp trở nên độc lập tuyến tính. Nếu loại bỏ thêm một vector, vector đó sẽ không còn là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại, và tập hợp nhỏ hơn sẽ không còn sinh không gian $V$ . Do đó, một cơ sở là một tập sinh nhỏ nhất có thể.

Một cơ sở cũng là một tập hợp độc lập tuyến tính lớn nhất có thể. Nếu $S$ là một cơ sở của $V$ , và nếu ta thêm một vector $\mathbf{w}$ từ $V$ vào $S$ , thì tập hợp mới không thể độc lập tuyến tính, vì $S$ đã sinh $V$ , nên $\mathbf{w}$ chắc chắn là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong $S$ .

Ví dụ 11: Ba tập hợp sau trong không gian $\mathbb{R}^3$ minh họa cách một tập hợp độc lập tuyến tính có thể được mở rộng thành một cơ sở, và cách mở rộng thêm sẽ phá hủy tính độc lập tuyến tính. Đồng thời, một tập sinh có thể được thu gọn thành một cơ sở, nhưng thu gọn thêm nữa sẽ phá vỡ tính sinh của tập hợp.

Hai Cách Nhìn Về Cơ Sở

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 9: Cơ sở cho Nul A, Col A và Row A

Lesson Attachments

Hai Cách Nhìn Về Cơ Sở

Để lại một bình luận Hủy