Bài giảng 1: Hệ thống động lực và Cú mèo đốm

Năm 1990, loài cú mèo đốm phương Bắc trở thành tâm điểm của một cuộc tranh cãi trên toàn nước Mỹ về việc sử dụng và khai thác rừng ở vùng Tây Bắc Thái Bình Dương. Các nhà môi trường đã thuyết phục chính phủ liên bang rằng loài cú này có nguy cơ tuyệt chủng nếu việc khai thác gỗ tiếp tục diễn ra trong các khu rừng già (với những cây hơn 200 năm tuổi), nơi chúng thích sinh sống. Trong khi đó, ngành công nghiệp gỗ, dự đoán sẽ mất từ 30.000 đến 100.000 việc làm do các quy định mới của chính phủ về hạn chế khai thác, lập luận rằng cú mèo đốm không nên được xếp vào danh sách “loài bị đe dọa” và trích dẫn một số báo cáo khoa học đã công bố để ủng hộ quan điểm của họ.

Dân số cú đốm tiếp tục giảm, và loài này vẫn là tâm điểm của cuộc xung đột giữa cơ hội kinh tế và nỗ lực bảo tồn. Các nhà sinh thái học toán học giúp phân tích tác động của các yếu tố như kỹ thuật khai thác gỗ, cháy rừng và sự cạnh tranh môi trường sống với loài cú xâm lấn barred owl.

Vòng đời của cú đốm tự nhiên được chia thành ba giai đoạn: non trẻ (dưới 1 tuổi), bán trưởng thành (1–2 tuổi) và trưởng thành (trên 2 tuổi). Cú đốm kết đôi suốt đời trong giai đoạn bán trưởng thành và trưởng thành, bắt đầu sinh sản khi trưởng thành và có thể sống tới 20 năm. Mỗi cặp cú cần khoảng 1000 ha (4 dặm vuông) để làm lãnh thổ sinh sống. Một thời điểm quan trọng trong vòng đời là khi cú non rời tổ. Để tồn tại và trở thành cú bán trưởng thành, cú non phải tìm được lãnh thổ mới (thường là cùng với bạn đời).

Bước đầu tiên trong việc nghiên cứu động lực quần thể là mô hình hóa dân số theo các khoảng thời gian hàng năm, với các mốc thời gian được ký hiệu là . Thông thường, người ta giả định tỷ lệ 1:1 giữa cú đực và cú cái ở mỗi giai đoạn và chỉ đếm số lượng cú cái. Dân số tại năm thứ kk có thể được mô tả bằng một vector , trong đó , và lần lượt là số lượng cú cái ở các giai đoạn non trẻ, bán trưởng thành và trưởng thành.

Sử dụng dữ liệu thực tế từ các nghiên cứu nhân khẩu học, R. Lamberson và cộng sự đã xem xét mô hình ma trận giai đoạn sau:

Trong đó:

• Số lượng cú non cái mới trong năm bằng .33 lần số lượng cú trưởng thành cái trong năm (dựa trên tỷ lệ sinh trung bình của mỗi cặp cú).
• 18% số cú non sống sót để trở thành cú bán trưởng thành.
• 71% số cú bán trưởng thành và 94% số cú trưởng thành sống sót để được tính vào nhóm cú trưởng thành của năm tiếp theo.

Mô hình ma trận giai đoạn trên là một phương trình sai phân có dạng . Một phương trình như vậy thường được gọi là hệ động lực học (hay hệ động lực tuyến tính rời rạc) vì nó mô tả sự thay đổi của một hệ thống theo thời gian.

Tỷ lệ 18% cú non sống sót trong ma trận Lamberson là yếu tố bị ảnh hưởng nhiều nhất bởi diện tích rừng già còn lại. Trên thực tế, 60% số cú non thường sống sót để rời tổ, nhưng trong khu vực Willow Creek (California), nơi Lamberson và các đồng nghiệp nghiên cứu, chỉ 30% số cú non rời tổ có thể tìm được lãnh thổ mới. Phần còn lại đã chết trong quá trình tìm kiếm môi trường sống.

Một lý do quan trọng khiến cú không tìm được lãnh thổ mới là sự chia cắt ngày càng gia tăng của các khu rừng già do việc khai thác trắng các khu vực rải rác. Khi một con cú rời khỏi tán cây bảo vệ của rừng và bay qua khu vực khai thác trắng, nguy cơ bị kẻ săn mồi tấn công tăng lên đáng kể.

Mục 5.6 sẽ chỉ ra rằng mô hình trong phần giới thiệu chương dự đoán sự tuyệt chủng của loài cú đốm, nhưng nếu 50% số cú non sống sót khi rời tổ cũng tìm được lãnh thổ mới, thì quần thể cú có thể phát triển trở lại.

Phần này sẽ tập trung vào việc phân tích tác động của một phép biến đổi tuyến tính thành những yếu tố dễ hình dung hơn. Tất cả các ma trận trong chương đều là ma trận vuông.

Các ứng dụng chính được mô tả bao gồm:

• Hệ động lực học rời rạc,
• Phương trình vi phân,
• Chuỗi Markov.

Tuy nhiên, các khái niệm cơ bản về giá trị riêng và vectơ riêng có vai trò quan trọng trong cả toán học thuần túy và ứng dụng, xuất hiện trong nhiều lĩnh vực rộng lớn hơn, bao gồm:

• Phương trình vi phân và hệ động lực học liên tục,
• Thiết kế kỹ thuật,
• Vật lý và hóa học.