Bài giảng 18: Ứng Dụng Phương Pháp Ma Trận Vào Phương Trình Vi Phân

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Phần này mô tả các tương tự liên tục của các phương trình sai phân đã nghiên cứu trong bài trước. Trong nhiều bài toán ứng dụng, một số đại lượng thay đổi liên tục theo thời gian và chúng được liên hệ với nhau bằng một hệ phương trình vi phân:

$\begin{matrix}x_1'=&a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n\\x_2'=&a_{21}x_1+\dots+a_{2n}x_n\\\vdots&\\x_n'=&a_{n1}x_1+\dots+a_{nn}x_n\\\end{matrix}$

Ở đây, $x_1,\dots,x_n$ là các hàm khả vi theo biến $t$ , với các đạo hàm $x_1',\dots,x_n'$ , và các hệ số $a_{ij}$ là hằng số. Đặc điểm quan trọng của hệ phương trình này là tính tuyến tính. Để thấy điều đó, ta có thể viết hệ trên dưới dạng phương trình vi phân ma trận:

(1) $\begin{equation*}\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\end{equation*}$

trong đó:

$\mathbf{x}(t)=\begin{bmatrix}x_1(t)\\\vdots\\x_n(t)\end{bmatrix},\quad\mathbf{x}'(t)=\begin{bmatrix}x_1'(t)\\\vdots\\x_n'(t)\end{bmatrix},\quad A=\begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\dots&a_{nn}\end{bmatrix}$

Một nghiệm của phương trình (1) là một hàm vector $\mathbf{x}(t)$ thỏa mãn phương trình này với mọi $t$ trong một khoảng xác định, chẳng hạn $t\geq 0$ . Phương trình (1) có tính chất tuyến tính vì cả phép lấy đạo hàm và phép nhân ma trận với vector đều là các phép biến đổi tuyến tính. Do đó, nếu $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là hai nghiệm của phương trình $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ , thì tổ hợp tuyến tính của chúng, $c\mathbf{u}+d\mathbf{v}$ , cũng là một nghiệm, bởi vì:

$(c\mathbf{u}+d\mathbf{v})^{'}=c\mathbf{u}^{'}+d\mathbf{v}^{'}=cA\mathbf{u}+dA\mathbf{v}=A(c\mathbf{u}+d\mathbf{v})$

(Các kỹ sư gọi tính chất này là nguyên lý chồng chất nghiệm.) Ngoài ra, hàm không đồng nhất bằng không cũng là một nghiệm (tầm thường) của phương trình (1). Theo thuật ngữ của phần 4, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (1) tạo thành một không gian con của tập hợp tất cả các hàm liên tục có giá trị trong $\mathbb{R}^n$ .

Các giáo trình tiêu chuẩn về phương trình vi phân chứng minh rằng luôn tồn tại một tập hợp nghiệm cơ bản cho phương trình (1). Nếu $A$ là ma trận $n\times n$ , thì tồn tại $n$ hàm độc lập tuyến tính trong tập hợp nghiệm cơ bản, và mỗi nghiệm của phương trình (1) là một tổ hợp tuyến tính duy nhất của $n$ hàm này. Nói cách khác, một tập hợp nghiệm cơ bản chính là một cơ sở của không gian nghiệm của phương trình (1), và không gian nghiệm này là một không gian vector có $n$ chiều của các hàm.

Nếu một vector $\mathbf{x}_0$ được cho trước, thì bài toán giá trị ban đầu là tìm một hàm duy nhất $\mathbf{x}(t)$ sao cho $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}(t)$ và $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$ . Khi $A$ là một ma trận đường chéo, nghiệm của phương trình (1) có thể được tìm dễ dàng bằng giải tích cơ bản. Ví dụ, xét hệ phương trình:

(2) $\begin{equation*}\begin{bmatrix}x_1'(t)\\x_2'(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&0\\0&-5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\end{bmatrix}\end{equation*}$

Tức là:

(3) $\begin{equation*}\begin{matrix}x_1'(t)\qquad\quad&=3x_1(t)\\\qquad x_2'(t)&=-5x_2(t)\\\end{matrix}\end{equation*}$

Hệ phương trình (2) được gọi là hệ phương trình tách rời vì mỗi đạo hàm của một hàm chỉ phụ thuộc vào chính hàm đó, chứ không phải vào một tổ hợp hoặc sự “liên kết” giữa cả hai hàm $x_1(t)$ và $x_2(t)$ . Từ giải tích, nghiệm của phương trình (3) là: $x_1(t)=c_1 e^{3t}$ và $x_2(t)=c_2 e^{-5t}$ , với $c_1$ và $c_2$ là các hằng số tùy ý. Mỗi nghiệm của phương trình (2) có thể viết dưới dạng:

$\begin{bmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1 e^{3t}\\c_2 e^{-5t}\end{bmatrix}=c_1\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}e^{3t}+c_2\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}e^{-5t}$

Ví dụ này gợi ý rằng, đối với phương trình tổng quát $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ , một nghiệm có thể có dạng:

(4) $\begin{equation*}\mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t}\end{equation*}$

với một số vô hướng $\lambda$ và một vector cố định khác không $\mathbf{v}$ . (Nếu $\mathbf{v}=0$ , thì hàm $\mathbf{x}(t)$ sẽ đồng nhất bằng không, và do đó thỏa mãn phương trình $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ .) Ta có:

$\mathbf{x}'(t)=\lambda\mathbf{v}e^{\lambda t}$ Theo giải tích, vì $\mathbf{v}$ là một vector hằng số

$A\mathbf{x}(t)=A\mathbf{v}e^{\lambda t}$ Nhân cả hai vế của phương trình (4) với $A$ .

Ta thấy rằng vì $e^{\lambda t}$ không bao giờ bằng không, nên phương trình $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ sẽ đúng nếu và chỉ nếu $\lambda\mathbf{v}=A\mathbf{v}$ , nói cách khác, $\lambda$ phải là giá trị riêng của $A$ và $\mathbf{v}$ là vector riêng tương ứng. Như vậy, mỗi cặp giá trị riêng – vector riêng cung cấp một nghiệm dạng (4) cho phương trình $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ . Những nghiệm như vậy đôi khi được gọi là hàm riêng của phương trình vi phân. Các hàm riêng chính là chìa khóa để giải các hệ phương trình vi phân.

Ví dụ 1: Mạch điện trong hình 1 có thể được mô tả bằng phương trình vi phân:

$\begin{bmatrix}x_1'(t)\\x_2'(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\left({1}/{R_1}+{1}/{R_2}\right)/C_1&{1}/{R_2 C_1}\\{1}/{R_2 C_2}&-{1}/{R_2 C_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\end{bmatrix}$

trong đó $x_1(t)$ và $x_2(t)$ là điện áp trên hai tụ điện tại thời điểm $t$ . Giả sử: điện trở $R_1=1$ ohm, điện trở $R_2=2$ ohm, tụ điện $C_1=1$ farad, tụ điện $C_1=.5$ farad, ban đầu, tụ $C_1$ có điện áp 5 volt và tụ $C_2$ có điện áp 4 volt. Hãy tìm công thức cho $x_1(t)$ và $x_2(t)$ để mô tả sự thay đổi điện áp theo thời gian.

Giải: Gọi $A$ là ma trận đã cho ở trên, và đặt $\mathbf{x}(t)=\begin{bmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\end{bmatrix}$ . Với các giá trị đã cho, ta có: $A=\begin{bmatrix}-1.5&.5\\1&-1\end{bmatrix}$ và $\mathbf{x}(0)=\begin{bmatrix}5\\4\end{bmatrix}$ . Các giá trị riêng của $A$ là $\lambda_1=-.5$ và $\lambda_2=-2$ , với các vector riêng tương ứng: $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ và $\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$ . Các hàm riêng $\mathbf{x}_1(t)=\mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t}$ và $\mathbf{x}_2(t)=\mathbf{v}_2 e^{\lambda_2 t}$ đều thỏa mãn phương trình $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ , và do đó, mọi tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{x}_1$ và $\mathbf{x}_2$ cũng là nghiệm. Đặt

$\mathbf{x}(t)=c_1\mathbf{v}_1 e^{\lambda _{1}t}+c_2\mathbf{v}_2 e^{\lambda _{2}t}=c_1\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}e^{-.5t}+c_2\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}e^{-2t}$

Khi $t=0$ , ta có:

$\mathbf{x}(0)=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}5\\4\end{bmatrix}$

Từ phương trình:

$c_1\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\4\end{bmatrix}$

Giải hệ phương trình này, ta được $c_1=3,\:c_2=-2$ . Vậy nghiệm của phương trình vi phân là:

$\mathbf{x}(t)=3\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}e^{-.5t}-2\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}e^{-2t}$

hoặc

$\begin{bmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3e^{-.5t}+2e^{-2t}\\6e^{-.5t}-2e^{-2t}\end{bmatrix}$

Hình 2 biểu diễn đồ thị quỹ đạo của $\mathbf{x}(t)$ với $t\geq 0$ , cùng với quỹ đạo của một số điểm ban đầu khác. Quỹ đạo của hai hàm riêng $\mathbf{x}_1$ và $\mathbf{x}_2$ nằm trong các không gian riêng của $A$ .

Cả hai hàm $\mathbf{x}_1$ và $\mathbf{x}_2$ đều tiến về 0 khi $t\to\infty$ , nhưng $\mathbf{x}_2$ giảm nhanh hơn do số mũ của nó âm hơn. Các giá trị trong vector riêng $\mathbf{v}_2$ cho thấy điện áp trên các tụ điện sẽ giảm về 0 nhanh nhất nếu điện áp ban đầu có độ lớn bằng nhau nhưng ngược dấu.

Hình 2: Gốc tọa độ là một điểm hút

Trong hình 2, gốc tọa độ được gọi là một điểm hút hay điểm chìm của hệ động lực vì tất cả các quỹ đạo đều hướng về gốc tọa độ. Hướng hút mạnh nhất nằm dọc theo quỹ đạo của hàm riêng $\mathbf{x}_2$ (dọc theo đường thẳng đi qua 0 và $\mathbf{v}_2$ ), tương ứng với giá trị riêng có giá trị âm lớn hơn, tức là $\lambda=-2$ . Các quỹ đạo bắt đầu từ những điểm không nằm trên đường thẳng này sẽ dần trở nên tiệm cận với đường thẳng đi qua 0 và $\mathbf{v}_1$ , vì thành phần của chúng theo hướng $\mathbf{v}_2$ sẽ suy giảm rất nhanh.

Nếu các giá trị riêng trong ví dụ 1 là dương thay vì âm, thì các quỹ đạo tương ứng sẽ có hình dạng tương tự, nhưng chúng sẽ di chuyển rời xa gốc tọa độ thay vì tiến về nó. Trong trường hợp đó, gốc tọa độ được gọi là điểm đẩy hay nguồn của hệ động lực, và hướng đẩy mạnh nhất sẽ là đường thẳng chứa quỹ đạo của hàm riêng tương ứng với giá trị riêng dương lớn hơn.

Ví dụ 2: Giả sử một hạt đang chuyển động trong một trường lực phẳng và vectơ vị trí của nó $\mathbf{x}$ thỏa mãn phương trình $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ và $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$ , với

$A=\begin{bmatrix}4&-5\\-2&1\end{bmatrix},\quad\mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}2.9\\2.6\end{bmatrix}.$

Hãy giải bài toán giá trị ban đầu cho $t\geq 0$ và phác thảo quỹ đạo của hạt.

Giải: Các giá trị riêng của $A$ là $\lambda_1=6$ và $\lambda_2=-1$ , với các vectơ riêng tương ứng là $\mathbf{v}_1=(-5,2)$ và $\mathbf{v}_2=(1,1)$ . Với mọi hằng số $c_1$ và $c_2$ , hàm

$\mathbf{x}(t)=c_1\mathbf{v}_1 e^{\lambda _{1}t}+c_2\mathbf{v}_2 e^{\lambda _{2}t}=c_1\begin{bmatrix}-5\\2\end{bmatrix}e^{6t}+c_2\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}e^{-t}$

là một nghiệm của phương trình $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ . Ta cần tìm $c_1$ và $c_2$ sao cho $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$ , tức là:

$c_1\begin{bmatrix}-5\\2\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2.9\\2.6\end{bmatrix}$ hoặc $\quad\begin{bmatrix}-5&1\\2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2.9\\2.6\end{bmatrix}$

Giải hệ phương trình này, ta được $c_1=-{3}/{70}$ và $c_2=188/{70}$ . Vậy nghiệm của phương trình vi phân là:

$\mathbf{x}(t)=-\frac{3}{70}\begin{bmatrix}-5\\2\end{bmatrix}e^{6t}+\frac{188}{70}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}e^{-t}$

Quỹ đạo của $\mathbf{x}(t)$ và các nghiệm khác được minh họa trong hình 3.

Hình 3: Gốc tọa độ là một điểm yên ngựa

Trong hình 3, gốc tọa độ được gọi là điểm yên ngựa (saddle point) của hệ động lực vì một số quỹ đạo lúc đầu tiến về gốc rồi đổi hướng và đi xa gốc. Điểm yên ngựa xuất hiện khi ma trận $A$ có cả giá trị riêng dương và âm.

Hướng đẩy mạnh nhất là đường thẳng đi qua $\mathbf{v}_1$ và gốc, ứng với giá trị riêng dương $\lambda_1=6$ .
Hướng hút mạnh nhất là đường thẳng đi qua $\mathbf{v}_2$ và gốc, ứng với giá trị riêng âm $\lambda_2=-1$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 18: Ứng Dụng Phương Pháp Ma Trận Vào Phương Trình Vi Phân

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy