Bài giảng 6: Đường chéo hóa

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Trong nhiều trường hợp, thông tin về giá trị riêng – vectơ riêng trong ma trận $A$ có thể được biểu diễn dưới dạng một phép phân tích hữu ích $A=P D P^{-1},$ trong đó $D$ là một ma trận đường chéo. Trong phần này, phép phân tích này giúp ta tính toán $A^k$ nhanh chóng với các giá trị $k$ lớn, đây là một ý tưởng nền tảng trong nhiều ứng dụng của đại số tuyến tính. Sau này, phép phân tích này sẽ được sử dụng để phân tích (và tách rời) các hệ động lực.

Ví dụ sau minh họa rằng lũy thừa của một ma trận đường chéo rất dễ tính toán.

Ví dụ 1: Nếu $D=\begin{bmatrix}5&0\\0&3\\\end{bmatrix}$ , thì $D^{2}=\begin{bmatrix}5&0\\0&3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5&0\\0&3\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5^{2}&0\\0&3^{2}\\\end{bmatrix}$ .

Tương tự,

$D^{3}=DD^{2}=\begin{bmatrix}5&0\\0&3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5^{2}&0\\0&3^{2}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5^{3}&0\\0&3^{3}\\\end{bmatrix}$

Nói chung:

$D^{k}=\begin{bmatrix}5^{k}&0\\0&3^{k}\\\end{bmatrix}\quad k\geq 1$

Nếu $A=P D P^{-1}$ với một ma trận khả nghịch $P$ và một ma trận đường chéo $D$ , thì việc tính $A^k$ cũng dễ dàng, như ví dụ tiếp theo sẽ cho thấy.

Ví dụ 2: Cho ma trận $A=\begin{bmatrix}7&2\\-4&1\\\end{bmatrix}$ . Tìm công thức tổng quát cho $A^k$ , biết rằng $A=P D P^{-1}$ , trong đó $P=\begin{bmatrix}1&1\\-1&-2\end{bmatrix},$ và $D=\begin{bmatrix}5&0\\0&3\end{bmatrix},$ .

Giải: Sử dụng công thức tiêu chuẩn cho ma trận nghịch đảo $2\times 2$ , ta có:

$P^{-1}=\begin{bmatrix}2&1\\-1&-1\\\end{bmatrix}$

Sau đó, nhờ tính kết hợp của phép nhân ma trận, ta tính toán:

$A^2=(PDP^{-1})(PDP^{-1})=PD(P^{-1}P)DP^{-1}=PD^2P^{-1}=\begin{bmatrix}1&1\\-1&-2\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5^2&0\\0&3^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\-1&-1\\\end{bmatrix}$

Tương tự,

$A^3=(PDP^{-1})A^2=(PDP^{-1})P D^2 P^{-1}=P D^3 P^{-1}$

Nói chung, với $k\geq 1$ , ta có:

$A^k=P D^k P^{-1}=\begin{bmatrix}1&1\\-1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5^k&0\\0&3^k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\-1&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\cdot 5^k-3^k&5^k-3^k\\2\cdot 3^k-2\cdot 5^k&2\cdot 3^k-5^k\end{bmatrix}$

Một ma trận vuông $A$ được gọi là đường chéo hóa được nếu $A$ tương tự với một ma trận đường chéo, tức là nếu tồn tại một ma trận khả nghịch $P$ và một ma trận đường chéo $D$ sao cho $A=P D P^{-1}$ .

Định lý tiếp theo sẽ cung cấp một cách để nhận biết các ma trận có thể đường chéo hóa và hướng dẫn cách xây dựng phép phân tích phù hợp.

Định lý 5 Định lý đường chéo hóa

Một ma trận   có thể đường chéo hóa nếu và chỉ nếu  có  vector riêng độc lập tuyến tính.
Thực tế, , với  là ma trận đường chéo, nếu và chỉ nếu các cột của  là  vector riêng độc lập tuyến tính của . Khi đó, các phần tử trên đường chéo của  là các giá trị riêng của , tương ứng với các vector riêng trong .

Nói cách khác, $A$ có thể đường chéo hóa nếu và chỉ nếu tồn tại đủ số vector riêng để tạo thành một cơ sở của $\mathbb{R}^n$ . Cơ sở này được gọi là cơ sở vector riêng của $\mathbb{R}^n$ .

Chứng minh: Trước hết, giả sử rằng $P$ là một ma trận $n\times n$ với các cột là $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n$ , và $D$ là một ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo là $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ . Khi đó:

(1) $\begin{equation*}AP=A[\mathbf{v}_1\;\mathbf{v}_2\;\dots\;\mathbf{v}_n]=[A\mathbf{v}_1\;A\mathbf{v}_2\;\dots\;A\mathbf{v}_n]\end{equation*}$

Mặt khác, từ giả thiết đường chéo hóa, ta có:

(2) $\begin{equation*}PD=P\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots&0\\0&\lambda _{2}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda _{n}\\\end{bmatrix}=[\lambda _{1}\mathbf{v}_1\quad\lambda _{1}\mathbf{v}_2\quad\cdots\quad\lambda _{1}\mathbf{v}_2]\end{equation*}$

Bây giờ, giả sử AA có thể đường chéo hóa và A=PDP−1A = P D P^{-1}. Nhân cả hai vế với PP bên phải, ta có $AP=PD$ . Trong trường hợp này, từ các phương trình (1) và (2), ta suy ra:

$\begin{eqution}[A\mathbf{v}_1\quad A\mathbf{v}_2\quad\dots\quad A\mathbf{v}_n]=[\lambda_1\mathbf{v}_1\quad\lambda_2\mathbf{v}_2\quad\dots\quad\lambda_n\mathbf{v}_n]\tag{3}\end{eqution}$

So sánh từng cột của hai vế, ta thu được hệ phương trình:

$\begin{eqution}A\mathbf{v}_1=\lambda_1\mathbf{v}_1,\quad A\mathbf{v}_2=\lambda_2\mathbf{v}_2,\quad\dots,\quad A\mathbf{v}_n=\lambda_n\mathbf{v}_n\tag{4}\end{eqution}$

Vì $P$ khả nghịch, các cột của nó $\mathbf{v_1,\dots,v_n}$ phải độc lập tuyến tính. Ngoài ra, vì các cột này đều khác không, nên từ các phương trình trong (4), ta thấy rằng $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ là các giá trị riêng, và $\mathbf{v_1,\dots,v_n}$ là các vector riêng tương ứng. Điều này chứng minh phần “chỉ nếu” của hai phát biểu đầu tiên trong định lý, cũng như phát biểu thứ ba.

Cuối cùng, nếu cho trước $n$ vector riêng $\mathbf{v_1,\dots,v_n}$ , ta có thể sử dụng chúng để tạo thành các cột của ma trận $P$ , và dùng các giá trị riêng tương ứng $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ để tạo thành ma trận $D$ . Theo các phương trình (1)–(3), ta có $AP=PD$ . Điều này luôn đúng mà không cần điều kiện gì thêm đối với các vector riêng. Nếu thực sự các vector riêng này độc lập tuyến tính, thì theo Định lý Ma trận Khả nghịch, ma trận $P$ sẽ khả nghịch. Khi đó, từ $AP=PD$ , ta suy ra: $A=P D P^{-1}$ . Điều này chứng minh rằng $A$ có thể đường chéo hóa.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 6: Đường chéo hóa

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy