Bài giảng 10: Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Có những nhánh của đại số tuyến tính sử dụng ma trận vô hạn chiều để biến đổi không gian vectơ vô hạn chiều. Tuy nhiên, trong phần còn lại của chương này, chúng ta sẽ giới hạn nghiên cứu vào các phép biến đổi tuyến tính và ma trận liên quan đến không gian vectơ hữu hạn chiều.

Giả sử $V$ là một không gian vectơ có số chiều là nn, và $T$ là một phép biến đổi tuyến tính từ $V$ vào chính nó. Để gán một ma trận cho $T$ , ta chọn một cơ sở $\ss$ bất kỳ của $V$ .

Với mọi vectơ $\mathbf{x}\in V$ , vectơ tọa độ của $\mathbf{x}$ theo cơ sở $\ss$ , ký hiệu là $[\mathbf{x}]_{\ss}$ , thuộc $\mathbb{R}^n$ . Tương tự, vectơ tọa độ của $T(\mathbf{x})$ , ký hiệu $[T(\mathbf{x})]_{\ss}$ , cũng thuộc $\mathbb{R}^n$ .

Mối liên hệ giữa $[\mathbf{x}]_{\ss}$ và $[T(\mathbf{x})]_{\ss}$ rất dễ tìm.

Giả sử cơ sở $\ss$ của $V$ gồm các vectơ $\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\}$ . Nếu $\mathbf{x}=r_1\mathbf{b}_1+\dots+r_n\mathbf{b}_n$ , thì vectơ tọa độ của $\mathbf{x}$ theo cơ sở $\ss$ là

$[\mathbf{x}]_{\ss}=\begin{bmatrix}r_{1}\\\vdots\\r_{1}\end{bmatrix}$

Do $T$ là một phép biến đổi tuyến tính, ta có

(1) $\begin{equation*}T(\mathbf{x})=T(r_1 b_1+\dots+r_n\mathbf{b}_n)=r_1 T(\mathbf{b}_1)+\dots+r_n T(\mathbf{b}_n)\end{equation*}$

Vì ánh xạ tọa độ từ $V$ vào $\mathbb{R}^n$ cũng là tuyến tính, phương trình trên dẫn đến

(2) $\begin{equation*}[T(\mathbf{x})]_{\ss}=r_1[T(\mathbf{b}_1)]_{\ss}+\dots+r_n[T(\mathbf{b}_n)]_{\ss}\end{equation*}$

Vì $[T(\mathbf{x})]_{\ss}$ và $[\mathbf{x}]_{\ss}$ thuộc $\mathbb{R}^n$ , phương trình trên có thể viết lại dưới dạng phương trình ma trận:

(3) $\begin{equation*}[T(\mathbf{x})]_{\ss}=M[\mathbf{x}]_{\ss}\end{equation*}$

trong đó

(4) $\begin{equation*}M=\begin{bmatrix}[T(\mathbf{b}_1)]_{\ss}&[T(\mathbf{b}_2)]_{\ss}&\dots&[T(\mathbf{b}_n)]_{\ss}\end{bmatrix}\end{equation*}$

Ma trận $M$ được gọi là ma trận của phép biến đổi $T$ theo cơ sở $\ss$ , ký hiệu là $[T]_{\ss}$ . Xem hình 2.

Phương trình (3) cho thấy rằng, dưới dạng vectơ tọa độ, tác động của $T$ lên $\mathbf{x}$ có thể xem như phép nhân bên trái với ma trận $M$ .

Ví dụ 2: Giả sử $\ss=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2\}$ là một cơ sở của $V$ . Xét một phép biến đổi tuyến tính $T:V\to V$ thỏa mãn:

$T(\mathbf{b}_1)=3\mathbf{b}_1-2\mathbf{b}_2,\quad T(\mathbf{b}_2)=4\mathbf{b}_1+7\mathbf{b}_2$

Tìm ma trận $M$ của $T$ theo cơ sở $\ss$ .

Giải: Vectơ tọa độ của $T(\mathbf{b}_1)$ và $T(\mathbf{b}_2)$ theo cơ sở $\ss$ là:

$[T(\mathbf{b}_1)]_{\ss}=\begin{bmatrix}3\\-2\end{bmatrix},\quad[T(\mathbf{b}_2)]_{\ss}=\begin{bmatrix}4\\7\end{bmatrix}$

Do đó, ma trận $M$ của $T$ theo cơ sở $\ss$ là:

$M=\begin{bmatrix}3&4\\-2&7\end{bmatrix}$

Ví dụ 3: Xét ánh xạ $T:\mathbb{P}_2\to\mathbb{P}_2$ được xác định bởi:

$T(a_0+a_1 t+a_2 t^2)=a_1+2a_2 t$

Đây là một phép biến đổi tuyến tính. (Sinh viên giải tích sẽ nhận ra rằng $T$ chính là toán tử đạo hàm.)

a) Tìm ma trận $\ss$ của $T$ khi $\ss$ là cơ sở $\{1,t,t^2\}$ .

b) Kiểm tra rằng $[T(\mathbf{p})]_{\ss}=[T]_{\ss}[\mathbf{p}]_{\ss}$ với mọi $\mathbf{p}\in\mathbb{P}_2$ .

Giải

a) Tính ảnh của các vector cơ sở:

$T(1)=0$ đa thức không.
$T(t)=1$ đa thức có giá trị luôn luôn là 1.
$T(t^2)=2t$

Viết các vector tọa độ của $T(1),T(t)$ , và $T(t^2)$ theo cơ sở $\ss$ và đặt chúng lại với nhau để tạo thành ma trận $\ss$ cho $T$ :

b) Cho đa thức bất kỳ $\mathbf{p}(t)=a_0+a_1 t+a_2 t^2$ , ta có:

$[T]_{\ss}[\mathbf{p}]_{\ss}=[a_{1}+2a_{2}t]_{\ss}=\begin{bmatrix}a_1\\2a_2\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{bmatrix}=[T]_{\ss}[\mathbf{p}]_{\ss}$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 10: Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy