Bài giảng 16: Mô Tả Hình Học của Nghiệm Hệ Động Lực Rời Rạc

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Khi $A$ là ma trận $2\times 2$ , các phép tính đại số có thể được bổ sung bằng một mô tả hình học về sự tiến triển của hệ thống. Ta có thể xem phương trình $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ như một mô tả về những gì xảy ra với một điểm ban đầu $\mathbf{x}_0$ trong $\mathbb{R}^2$ khi nó liên tục được biến đổi bởi ánh xạ $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ . Đồ thị của dãy $\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_1,\dots$ được gọi là quỹ đạo của hệ động lực.

Ví dụ 2: Vẽ một số quỹ đạo của hệ động lực $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ , khi

$A=\begin{bmatrix}.80&0\\0&.64\end{bmatrix}$

Giải: Các giá trị riêng của $A$ là $.8$ và $.64$ , với các vectơ riêng tương ứng $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ và $\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ . Nếu $\mathbf{x}_0=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2$ , thì:

$\mathbf{x}_k=c_1(.8)^k\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+c_2(.64)^k\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

Rõ ràng, $\mathbf{x}_k$ tiến về $0$ vì cả $(.8)^k$ và $(.64)^k$ đều tiến về $0$ khi $k\to\infty$ . Nhưng cách mà $\mathbf{x}_k$ tiến về $0$ rất thú vị. Hình 1 hiển thị một số quỹ đạo bắt đầu từ các điểm trên biên của hình chữ nhật có góc tại $(\pm3,\pm3)$ . Các điểm trên mỗi quỹ đạo được nối với nhau bằng một đường cong mảnh để giúp dễ quan sát.

Trong ví dụ 2, gốc tọa độ được gọi là điểm hút của hệ động lực, vì tất cả các quỹ đạo đều hướng về $0$ . Hiện tượng này xảy ra khi cả hai giá trị riêng đều có độ lớn nhỏ hơn $11$ . Hướng thu hút mạnh nhất nằm dọc theo đường thẳng đi qua $0$ và vectơ riêng $\mathbf{v}_2$ của giá trị riêng có độ lớn nhỏ hơn.

Trong ví dụ tiếp theo, cả hai giá trị riêng của $A$ đều lớn hơn $11$ , và $0$ được gọi là điểm đẩy của hệ động lực. Khi đó, mọi nghiệm của $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ (ngoại trừ nghiệm không đổi $\mathbf{x}_k=0$ ) đều không bị chặn và dần rời xa gốc tọa độ.

Ví dụ 3: Vẽ một số nghiệm tiêu biểu của phương trình $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ , trong đó

$A=\begin{bmatrix}1.44&0\\0&1.2\end{bmatrix}$

Giải: Các giá trị riêng của $A$ là $1.44$ và $1.2$ . Nếu $\mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}$ , thì

$\mathbf{x}_k=c_1(1.44)^k\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+c_2(1.2)^k\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

Cả hai số hạng đều tăng về độ lớn, nhưng số hạng thứ nhất tăng nhanh hơn. Do đó, hướng đẩy mạnh nhất là theo đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng có độ lớn lớn hơn.

Hình 2: Gốc tọa độ đóng vai trò là điểm đẩy

Trong ví dụ tiếp theo, gốc tọa độ $0$ được gọi là điểm yên ngựa vì nó hút nghiệm từ một số hướng nhưng lại đẩy nghiệm theo các hướng khác. Điều này xảy ra khi một giá trị riêng có độ lớn lớn hơn 1 và giá trị riêng còn lại có độ lớn nhỏ hơn 1.

Hướng hút mạnh nhất được xác định bởi vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng có độ lớn nhỏ hơn.

Hướng đẩy mạnh nhất được xác định bởi vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng có độ lớn lớn hơn.

Ví dụ 4: Vẽ một số nghiệm tiêu biểu của phương trình $\mathbf{y}_{k+1}=D\mathbf{y}_k$ , trong đó

$D=\begin{bmatrix}2.0&0\\0&0.5\end{bmatrix}$

(Ta dùng ký hiệu $D$ và $\mathbf{y}$ thay vì $A$ và $\mathbf{x}$ vì ví dụ này sẽ được sử dụng sau.) Chứng minh rằng một nghiệm $\{\mathbf{y}_k\}$ sẽ không bị chặn nếu điểm ban đầu không nằm trên trục $\mathbf{x}_2$ .

Giải: Các giá trị riêng của $D$ là $2$ và $.5$ . Nếu $\mathbf{y}_0=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}$ , thì

(8) $\begin{equation*}\mathbf{y}_k=c_1 2^k\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+c_2(.5)^k\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\end{equation*}$

Nếu $\mathbf{y}_0$ nằm trên trục $\mathbf{x}_2$ , thì $c_1=0$ và $\mathbf{y}_k\to 0$ khi $k\to\infty$ .

Nhưng nếu $\mathbf{y}_0$ không nằm trên trục $\mathbf{x}_2$ , thì số hạng thứ nhất trong tổng $\mathbf{y}_k$ sẽ trở nên tùy ý lớn, do đó dãy $\{\mathbf{y}_k\}$ không bị chặn.

Hình 3: Gốc tọa độ đóng vai trò là một điểm yên ngựa

Thay Đổi Biến Số

Ba ví dụ trước đã xét các ma trận đường chéo. Để xử lý trường hợp không đường chéo, ta quay lại trường hợp tổng quát $n\times n,$ , trong đó các vectơ riêng của $A$ tạo thành một cơ sở $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\}$ cho $\mathbb{R}^n$ . Đặt $P=[\mathbf{v}_1\,\dots\,\mathbf{v}_n]$ , và $D$ là ma trận đường chéo chứa các giá trị riêng tương ứng trên đường chéo chính.

Cho một dãy $\{\mathbf{x}_k\}$ thỏa mãn phương trình sai phân: $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ , ta định nghĩa một dãy mới $\{\mathbf{y}_k\}$ bằng cách đặt:

$\mathbf{y}_k=P^{-1}\mathbf{x}_k,$ tương đương với $\mathbf{x}_k=P\mathbf{y}_k.$

Thay các biểu thức này vào phương trình $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ và sử dụng đẳng thức $A=P D P^{-1}$ , ta có:

$P\mathbf{y}_{k+1}=A P\mathbf{y}_k=(P D P^{-1})P\mathbf{y}_k=P D\mathbf{y}_k$

Nhân cả hai vế với $P^{-1}$ , ta thu được:

$\mathbf{y}_{k+1}=D\mathbf{y}_k$

Nếu ta viết $\mathbf{y}_k$ dưới dạng $\mathbf{y}(k)$ và ký hiệu các phần tử của $\mathbf{y}(k)$ là $\mathbf{y}_1(k),\dots,\mathbf{y}_n(k)$ , thì hệ phương trình trên có dạng:

$\begin{bmatrix}y_1(k+1)\\y_2(k+1)\\\vdots\\y_n(k+1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\dots&0\\0&\lambda_2&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1(k)\\y_2(k)\\\vdots\\y_n(k)\end{bmatrix}.$

Việc thay đổi biến số từ $\mathbf{x}_k$ sang $\mathbf{y}_k$ đã giúp tách rời hệ phương trình sai phân. Chẳng hạn, sự tiến triển của $\mathbf{y}_1(k)$ không bị ảnh hưởng bởi $y_2(k),\dots,y_n(k)$ , vì nó tuân theo phương trình: $y_1(k+1)=\lambda_1\cdot y_1(k)$ cho mọi $k$ .

Phương trình $\mathbf{x}_k=P\mathbf{y}_k$ cho thấy $\mathbf{y}_k$ là vectơ tọa độ của $\mathbf{x}_k$ trong hệ tọa độ riêng $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\}$ . Như vậy, ta có thể tách rời hệ $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ bằng cách thực hiện các phép tính trong hệ tọa độ vectơ riêng. Khi $n=2$ , điều này tương đương với việc sử dụng hệ trục tọa độ theo hướng của hai vectơ riêng.

Ví dụ 5: Chứng minh rằng gốc tọa độ là một điểm yên ngựa đối với nghiệm của phương trình sai phân $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_{k}$ , trong đó:

$A=\begin{bmatrix}1.25&-.75\\1&-1.25\end{bmatrix}$

Tìm các hướng có độ hút mạnh nhất và độ đẩy mạnh nhất.

Giải: Sử dụng các phương pháp tiêu chuẩn, ta tìm được $A$ có các giá trị riêng $\lambda_1=2$ và $\lambda_2=.5$ , với các vectơ riêng tương ứng: $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ , $\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ . Vì $|2|>1$ và $|0.5|<1$ , gốc tọa độ là một điểm yên ngựa của hệ động lực. Nếu $\mathbf{x}_0=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2$ , thì:

(9) $\begin{equation*}\mathbf{x}_k=c_1 2^k\mathbf{v}_1+c_2(.5)^k\mathbf{v}_2.\end{equation*}$

Phương trình này giống với phương trình (8) trong ví dụ 4, chỉ khác ở việc sử dụng các vectơ riêng $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ thay vì các vectơ của hệ chuẩn tắc.

Trên giấy đồ thị, vẽ các trục đi qua gốc tọa độ theo hướng của hai vectơ riêng $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ . (Xem hình 4). Sự di chuyển dọc theo các trục này tương ứng với chuyển động dọc theo các trục chuẩn trong hình 3. Trong hình 4: Hướng có độ đẩy mạnh nhất là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vectơ riêng $\mathbf{v}_1$ , vì giá trị riêng tương ứng $\lambda_1=2$ có độ lớn lớn hơn 1. Nếu $\mathbf{x}_0$ nằm trên đường này (tức là $c_2=0$ ), thì $\mathbf{x}_k$ nhanh chóng rời xa gốc tọa độ. Hướng có độ hút mạnh nhất được xác định bởi vectơ riêng $\mathbf{v}_2$ , vì giá trị riêng tương ứng $\lambda_2=.5$ có độ lớn nhỏ hơn 1.

Hình 4: Gôc tọa độ là một điểm yên ngựa

Nhiều quỹ đạo của hệ được thể hiện trong hình 4. Khi nhìn biểu đồ này theo hệ trục của các vectơ riêng, hình dạng của nó về cơ bản giống với hình 3.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 16: Mô Tả Hình Học của Nghiệm Hệ Động Lực Rời Rạc

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy