Bài giảng 17: Giá Trị Riêng Phức

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Khi một ma trận thực $2\times 2$ $A$ có các giá trị riêng phức, $A$ không khả quy về dạng chéo (khi xét trên $\mathbb{R}^2$ ), nhưng hệ động lực $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ vẫn có thể được mô tả một cách dễ dàng. Ví dụ 3 trong bài trước đã minh họa trường hợp các giá trị riêng có độ lớn bằng 1. Khi đó, các lần lặp của một điểm $\mathbf{x}_0$ sẽ xoắn ốc quanh gốc tọa độ theo một quỹ đạo hình elip.

Nếu $A$ có hai giá trị riêng phức có độ lớn lớn hơn 1, thì gốc tọa độ là một điểm đẩy, và các lần lặp của $\mathbf{x}_0$ sẽ xoắn ốc ra xa khỏi gốc. Ngược lại, nếu các giá trị riêng có độ lớn nhỏ hơn 1, thì gốc tọa độ là một điểm hút, và các lần lặp của $\mathbf{x}_0$ sẽ xoắn ốc hướng vào gốc tọa độ, như trong ví dụ sau.

Ví dụ 6: Có thể xác minh rằng ma trận

$A=\begin{bmatrix}.8&-.1\\.5&1.0\end{bmatrix}$

có các giá trị riêng $.9\pm.2i$ , với vectơ riêng tương ứng $\begin{bmatrix}1\mp 2i\\1\end{bmatrix}$ . Hình 5 hiển thị ba quỹ đạo của hệ động lực $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ , với các vectơ ban đầu $\begin{bmatrix}0\\2.5\end{bmatrix},\:\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix},$ và $\begin{bmatrix}0\\-2.5\end{bmatrix}$ .

Hình 5: Sự quay liên quan đến các giá trị riêng phức

Sự Sinh Tồn Của Cú Đốm

Hãy nhớ lại ví dụ mở đầu của chương này, trong đó quần thể cú đốm ở khu vực Willow Creek, California, được mô hình hóa bằng hệ động lực $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ , trong đó các phần tử của $\mathbf{x}_k=(j_k,s_k,a_k)$ lần lượt biểu thị số lượng con cái (tại thời điểm $k$ ) trong ba giai đoạn sống: non, bán trưởng thành và trưởng thành. Ma trận giai đoạn $A$ được cho bởi:

(10) $\begin{equation*}A=\begin{bmatrix}0&0&.33\\.18&0&0\\0&.71&.94\end{bmatrix}\end{equation*}$

MATLAB cho thấy các giá trị riêng của $A$ xấp xỉ là $\lambda_1=.98,\:\lambda_2=-.02+.21i$ , và $\lambda_3=-.02-.21i$ . Ta có thể thấy rằng tất cả các giá trị riêng đều có độ lớn nhỏ hơn 1, vì $|\lambda_2|^2=|\lambda_3|^2=(-.02)^2+(.21)^2=.0445.$

Xét ma trận $A$ trong không gian vectơ phức $\mathbb{C}^3$ . Vì $A$ có ba giá trị riêng phân biệt, ba vectơ riêng tương ứng của nó độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở cho $\mathbb{C}^3$ . Gọi các vectơ riêng này là $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3$ và $\mathbf{v}_3$ , khi đó nghiệm tổng quát của hệ phương trình $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ (trong $\mathbb{C}^3$ ) có dạng:

(11) $\begin{equation*}\mathbf{x}_k=c_1(\lambda_1)^k\mathbf{v}_1+c_2(\lambda_2)^k\mathbf{v}_2+c_3(\lambda_3)^k\mathbf{v}_3\end{equation*}$

Nếu $\mathbf{x}_0$ là một vectơ thực ban đầu, thì $\mathbf{x}_1=A\mathbf{x}_0$ vẫn là một vectơ thực vì $A$ là ma trận thực. Tương tự, từ phương trình $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ , ta thấy rằng mỗi $\mathbf{x}_k$ trong phương trình (11) là một vectơ thực, ngay cả khi nó được biểu diễn dưới dạng tổng của các vectơ phức. Tuy nhiên, do tất cả các giá trị riêng đều có độ lớn nhỏ hơn 1, mọi thành phần trong tổng trên đều tiến dần về vectơ không. Do đó, dãy thực $\mathbf{x}_k$ cũng sẽ tiến về vectơ không. Đáng buồn thay, mô hình này dự đoán rằng quần thể cú đốm cuối cùng sẽ tuyệt chủng.

Hãy nhớ rằng trong ví dụ mở đầu, hệ số 18% trong ma trận $A$ xuất phát từ thực tế là dù 60% số cú non sống sót đủ lâu để rời tổ và tìm kiếm lãnh thổ mới, chỉ 30% trong số đó có thể sống sót sau quá trình tìm kiếm và xác lập lãnh thổ mới. Sự sống sót trong giai đoạn tìm kiếm này bị ảnh hưởng mạnh mẽ bởi số lượng các khu rừng bị khai thác trắng, làm cho việc tìm kiếm lãnh thổ trở nên khó khăn và nguy hiểm hơn.

Một số quần thể cú đốm sinh sống ở những khu vực ít hoặc không có rừng bị khai thác trắng. Có thể trong những khu vực này, tỷ lệ cú non sống sót và tìm được lãnh thổ mới sẽ cao hơn. Tất nhiên, vấn đề của cú đốm phức tạp hơn so với những gì ta đã mô tả, nhưng ví dụ cuối cùng trong chương sẽ mang lại một kết thúc có hậu cho câu chuyện này.

Ví dụ 7: Giả sử tỷ lệ sống sót trong giai đoạn tìm kiếm lãnh thổ của cú non là 50%, nghĩa là phần tử $(2,1)$ trong ma trận giai đoạn $A$ ở phương trình (10) là $.3$ thay vì $.18$ . Mô hình ma trận giai đoạn dự đoán điều gì về quần thể cú đốm này?

Giải: Bây giờ, các giá trị riêng của $A$ lần lượt xấp xỉ: $\lambda_1=1.01,\:\lambda_2=-.03+.26i,$ và $\lambda_3=-.03-.26i.$ Một vectơ riêng tương ứng với $\lambda_1$ xấp xỉ là $\mathbf{v}_1=(10,3,31)$ . Gọi $\mathbf{v}_2$ và $\mathbf{v}_3$ là các vectơ riêng (phức) tương ứng với $\lambda_2$ và $\lambda_3$ . Khi đó, phương trình (11) trở thành:

$\mathbf{x}_k=c_1(1.01)^k\mathbf{v}_1+c_2(-.03+.26i)^k\mathbf{v}_2+c_3(-.03-.26i)^k\mathbf{v}_3.$

Khi $k\to\infty$ , hai vectơ cuối cùng dần tiến về không. Do đó, $\mathbf{x}_k$ ngày càng giống với vectơ thực $c_1(1.01)^k\mathbf{v}_1$ . Các xấp xỉ trong phương trình (6) và (7) sau ví dụ 1 vẫn áp dụng trong trường hợp này. Ngoài ra, có thể chứng minh rằng hằng số $c_1$ trong phép phân tích ban đầu của $\mathbf{x}_0$ là số dương nếu các phần tử của $\mathbf{x}_0$ không âm. Vì vậy, quần thể cú đốm sẽ tăng trưởng chậm với tốc độ tăng trưởng dài hạn là $1.01$ . Vectơ riêng $\mathbf{v}_1$ mô tả sự phân bố cuối cùng của cú đốm theo các giai đoạn sống: cứ mỗi 31 con trưởng thành thì sẽ có khoảng 10 con non và 3 con bán trưởng thành.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 17: Giá Trị Riêng Phức

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy