Bài giảng 15: Hệ Động Lực Rời Rạc

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Giá trị riêng và vectơ riêng đóng vai trò then chốt trong việc hiểu hành vi dài hạn, hay sự tiến hóa, của một hệ động lực được mô tả bởi phương trình sai phân $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ . Một phương trình như vậy đã được sử dụng để mô hình hóa sự di chuyển của quần thể trong Mục 1.10 và sẽ được áp dụng trong các chuỗi Markov ở bài tiếp cũng như trong ví dụ mở đầu về quần thể cú đốm của phần này. Các vectơ $\mathbf{x}_k$ cung cấp thông tin về hệ thống theo thời gian (được ký hiệu bởi $k$ ), trong đó $k$ là số nguyên không âm. Chẳng hạn, trong ví dụ về cú đốm, $\mathbf{x}_k$ liệt kê số lượng cú trong ba nhóm tuổi tại thời điểm $k$ .

Các ứng dụng trong phần này tập trung vào các vấn đề sinh thái vì chúng dễ phát biểu và giải thích hơn so với các vấn đề trong vật lý hay kỹ thuật. Tuy nhiên, hệ động lực xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học. Chẳng hạn, các khóa học đại học tiêu chuẩn về hệ thống điều khiển thảo luận về nhiều khía cạnh của hệ động lực. Phương pháp thiết kế không gian trạng thái hiện đại trong các khóa học này phụ thuộc nhiều vào đại số ma trận. Phản hồi trạng thái ổn định của một hệ thống điều khiển chính là tương đương kỹ thuật của cái mà chúng ta gọi là “hành vi dài hạn” của hệ động lực $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ .

Cho đến ví dụ 6, chúng ta giả sử rằng ma trận $A$ có thể chéo hóa, với $n$ vectơ riêng độc lập tuyến tính $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n$ và các giá trị riêng tương ứng $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ . Để thuận tiện, giả sử các giá trị riêng được sắp xếp sao cho $|\lambda_1|\geq|\lambda_2|\geq\dots\geq|\lambda_n|$ . Vì tập hợp $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\}$ là một cơ sở của $\mathbb{R}^n$ , bất kỳ vectơ ban đầu $\mathbf{x}_0$ nào cũng có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

(1) $\begin{equation*}\mathbf{x}_0=c_1\mathbf{v}_1+\dots+c_n\mathbf{v}_n\end{equation*}$

Phân rã vectơ riêng của $\mathbf{x}_0$ quyết định diễn biến của dãy $\{\mathbf{x}_k\}$ . Phép tính tiếp theo tổng quát hóa trường hợp đơn giản đã được xem xét trong ví dụ 5. Vì các $\mathbf{v}_i$ là vectơ riêng, ta có:

$\mathbf{x}_1=A\mathbf{x}_0=c_1 A\mathbf{v}_1+\dots+c_n A\mathbf{v}_n=c_1\lambda_1\mathbf{v}_1+\dots+c_n\lambda_n\mathbf{v}_n$

Và

$\mathbf{x}_1=A\mathbf{x}_1=c_1\lambda_1 A\mathbf{v}_1+\dots+c_n\lambda_n A\mathbf{v}_n=c_1(\lambda_1)^2\mathbf{v}_1+\dots+c_n(\lambda_n)^2\mathbf{v}_n$

Nói chung,

(2) $\begin{equation*}\mathbf{x}_k=c_1(\lambda_1)^k\mathbf{v}_1+\dots+c_n(\lambda_n)^k\mathbf{v}_n\quad$k=0,1,2,\dots$\end{equation*}$

Các ví dụ sau đây minh họa những gì có thể xảy ra trong phương trình (2) khi $k\to\infty$ .

Hệ Sinh–Thú

Sâu trong rừng gỗ đỏ California, loài chuột gỗ chân sẫm chiếm tới 80% khẩu phần ăn của loài cú đốm, kẻ săn mồi chính của chúng. Ví dụ 1 sử dụng một hệ động lực tuyến tính để mô hình hóa mối quan hệ sinh – thú giữa cú đốm và chuột gỗ. (Dù mô hình này có thể chưa hoàn toàn thực tế, nhưng nó là điểm khởi đầu để nghiên cứu các mô hình phi tuyến phức tạp hơn do các nhà khoa học môi trường sử dụng.)

Ví dụ 1: Gọi $\mathbf{x}_k=\begin{bmatrix}O_k\\R_k\end{bmatrix}$ là vector biểu diễn số lượng cú đốm $O_k$ và chuột gỗ $R_k$ tại thời điểm $k$ (tính theo tháng), trong đó $R_k$ được đo bằng đơn vị nghìn con. Giả sử hệ động lực tuân theo phương trình:

(3) $\begin{equation*}\begin{matrix}O_{k+1}=&(.5)O_k+(.4)R_k\\R_{k+1}=&-p\cdot O_k+(1.1)R_k\\\end{matrix}\end{equation*}$

trong đó $p$ là một tham số dương cần xác định.

Hệ số $(.5)O_k$ trong phương trình đầu tiên cho thấy nếu không có chuột gỗ để làm thức ăn, chỉ 50% số lượng cú sẽ sống sót qua mỗi tháng.

Hệ số $(1.1)R_k$ trong phương trình thứ hai có nghĩa là nếu không có cú đốm làm kẻ săn mồi, dân số chuột gỗ sẽ tăng 10% mỗi tháng.

Khi chuột gỗ dồi dào, thuật ngữ $(.4)R_k$ sẽ giúp tăng số lượng cú đốm.

Ngược lại, thuật ngữ $-p\cdot O_k$ thể hiện số chuột gỗ bị tiêu diệt bởi cú đốm (thực tế, $1000p$ là số lượng chuột trung bình bị một con cú ăn trong một tháng). Hãy xác định sự phát triển của hệ này khi tham số săn mồi $p=.104$ .

Giải: Khi $p=.104$ , ma trận hệ số $A=\begin{bmatrix}.5&.4\\-p&1.1\end{bmatrix}$ có các giá trị riêng: $\lambda_1=1.02$ , và $\lambda_2=.58$ . Các vectơ riêng tương ứng là:

$\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}10\\13\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}$

Giả sử vector ban đầu $\mathbf{x}_0$ có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng: $\mathbf{x}_0=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2$ . Khi đó, với $k\geq 0$ , ta có:

$\mathbf{x}_k=c_1(1.02)^k\mathbf{v}_1+c_2(.58)^k\mathbf{v}_2$

$=c_1(1.02)^k\begin{bmatrix}10\\13\end{bmatrix}+c_2(.58)^k\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}$

Khi k \to \infty, $(.58)^k$ giảm rất nhanh về 0. Nếu $c_1>0$ , thì với $k$ đủ lớn, $\mathbf{x}_k$ gần như chỉ phụ thuộc vào thành phần $c_1(1.02)^k\mathbf{v}_1$ , nên có thể viết xấp xỉ:

(4) $\begin{equation*}\mathbf{x}_k\approx c_1(1.02)^k\begin{bmatrix}10\\13\end{bmatrix}\end{equation*}$

Xấp xỉ (4) này càng chính xác khi $k$ tăng. Khi đó:

(5) $\begin{equation*}\mathbf{x}_{k+1}\approx c_1(1.02)^{k+1}\begin{bmatrix}10\\13\end{bmatrix}\approx(1.02)\mathbf{x}_k\end{equation*}$

Xấp xỉ trong (5) cho thấy rằng cuối cùng cả hai thành phần của $\mathbf{x}_k$ (số lượng cú và chuột) đều tăng theo một hệ số gần bằng 1,02 mỗi tháng, tương đương với tốc độ tăng trưởng 2% mỗi tháng. Theo (4), $\mathbf{x}_k$ xấp xỉ một bội số của $(10,13)$ , do đó, các thành phần trong $\mathbf{x}_k$ có tỷ lệ gần bằng 10:13.

Ví dụ 1 minh họa hai kết luận tổng quát về hệ động lực $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ , trong đó $A$ là ma trận $n\times n$ với các giá trị riêng thỏa mãn $|\lambda_1|\geq 1$ và $1>|\lambda_j|$ với mọi $j=2,\dots,n$ . Giả sử $\mathbf{v}_1$ là một vectơ riêng tương ứng với $\lambda_1$ . Nếu $\mathbf{x}_0$ có dạng

$\mathbf{x}_0=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\dots+c_n\mathbf{v}_n$

với $c_1\neq 0$ , thì với $k$ đủ lớn, ta có

(6) $\begin{equation*}\mathbf{x}_{k+1}\approx\lambda_1\mathbf{x}_k\end{equation*}$

và

(7) $\begin{equation*}\mathbf{x}_k\approx c_1(\lambda_1)^k\mathbf{v}_1\end{equation*}$

Hai xấp xỉ (6) và (7) có thể chính xác bao nhiêu tùy ý nếu chọn $k$ đủ lớn. Theo (6), dãy $\mathbf{x}_k$ tăng trưởng gần như theo hệ số $\lambda_1$ sau mỗi bước, nghĩa là $\lambda_1$ quyết định tốc độ tăng trưởng dài hạn của hệ thống. Ngoài ra, theo (7), tỷ lệ giữa hai phần tử bất kỳ trong $\mathbf{x}_k$ (khi $k$ lớn) gần bằng tỷ lệ giữa các phần tử tương ứng trong $\mathbf{v}_1$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 15: Hệ Động Lực Rời Rạc

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy