Bài giảng 9: Vectơ riêng của các phép biến đổi tuyến tính

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét các giá trị riêng và vectơ riêng của các phép biến đổi tuyến tính $T:V\to V$ , trong đó $V$ là một không gian vectơ bất kỳ. Khi $V$ là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn và tồn tại một cơ sở của $V$ bao gồm các vectơ riêng của $T$ , ta sẽ thấy cách biểu diễn phép biến đổi $T$ dưới dạng phép nhân bên trái với một ma trận đường chéo.

Vectơ riêng của các phép biến đổi tuyến tính

Trước đây, chúng ta đã xem xét nhiều không gian vectơ khác nhau, bao gồm không gian tín hiệu rời rạc $S$ và tập hợp các đa thức $P$ . Giá trị riêng và vectơ riêng có thể được định nghĩa cho các phép biến đổi tuyến tính từ bất kỳ không gian vectơ nào vào chính nó.

Định nghĩa

Cho  là một không gian vectơ. Một vectơ riêng của một phép biến đổi tuyến tính  là một vectơ không tầm thường  trong  sao cho:

  với một số vô hướng . Một số vô hướng  được gọi là giá trị riêng của  nếu tồn tại một nghiệm không tầm thường  thỏa mãn . Một vectơ  như vậy được gọi là một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng .

Ví dụ 1: Các tín hiệu hình sin đã được nghiên cứu chi tiết trong phần trước. Xét tín hiệu được xác định bởi $\{s_k\}=\left\{\cos(\frac{k\pi}{2})\right\}$ , trong đó $k$ chạy qua tất cả các số nguyên. Phép biến đổi tuyến tính dịch trái hai lần $D$ được định nghĩa bởi $D(\{s_k\})=\{s_{k+2}\}$ . Chứng minh rằng $\{s_k\}$ là một vectơ riêng của $D$ và xác định giá trị riêng tương ứng.

Giải: Công thức lượng giác $\cos(\pi+\theta)=-\cos(\theta)$ rất hữu ích trong trường hợp này.

Đặt $\{y_k\}=D(\{s_k\})$ , ta có

$y_k=s_{k+2}=\cos\left(\frac{(k+2)\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{k\pi}{2}+\pi\right)=-\cos\left(\frac{k\pi}{2}\right)=-s_k$

Vậy nên $D(\{s_k\})=\{-s_k\}=-\{s_k\}$ . Điều này chứng minh rằng $\{s_k\}$ là một vectơ riêng của $D$ với giá trị riêng $\lambda=-1$ .

Trong hình 1, các giá trị khác nhau của tần số $f$ được chọn để vẽ một đoạn của tín hiệu hình sin $\left\{\cos\left(\frac{fk\pi}{4}\right)\right\}$ và tín hiệu đã được biến đổi bởi $D$ , tức là $D\left\{\cos\left(\frac{fk\pi}{4}\right)\right\}$ . Khi đặt $f=2$ , ta có thể thấy rõ vectơ riêng của $D$ như đã chứng minh trong ví dụ 1.

Câu hỏi đặt ra:

Mối quan hệ nào trong các mẫu điểm thể hiện tính chất vectơ riêng giữa tín hiệu gốc và tín hiệu đã biến đổi?
Những giá trị nào khác của tần số ff tạo ra một tín hiệu là vectơ riêng của $D$ ?
Các giá trị riêng tương ứng là gì?

Hình 1 cho thấy đồ thị bên trái biểu diễn tín hiệu hình sin với $f=1$ và đồ thị bên phải với $f=1$ .