Bài giảng 14: Giá trị riêng và vectơ riêng của một ma trận thực trên Cⁿ

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Cho A là một ma trận vuông cấp n × n có các phần tử là số thực. Khi đó $\overline{A\mathbf{x}}=\overline{A}\overline{\mathbf{x}}=A\overline{\mathbf{x}}$ .

Nếu $\lambda$ là một giá trị riêng của $A$ và $\mathbf{x}$ là một vectơ riêng tương ứng trong $\mathbb{C}^{n}$ , thì

$A\overline{\mathbf{x}}=\overline{A\mathbf{x}}=\overline{\lambda\mathbf{x}}=\overline{\lambda}\overline{\mathbf{x}}$

Điều này có nghĩa là nếu $\lambda$ là một giá trị riêng của $A$ thì $\overline{\lambda}$ (liên hợp phức của $\lambda$ ) cũng là một giá trị riêng của $A$ , với vectơ riêng tương ứng là $\overline{\mathbf{x}}$ . Do đó, khi $A$ là ma trận thực, các giá trị riêng phức của $A$ luôn xuất hiện theo từng cặp liên hợp. (Trong ngữ cảnh này, thuật ngữ giá trị riêng phức dùng để chỉ một giá trị riêng có dạng $\lambda=a+bi$ với $b\neq 0$ .)

Ví dụ 5: Các giá trị riêng của ma trận thực trong ví dụ 2 là các số phức liên hợp, cụ thể là $.8-.6i$ và $.8+.6i$ . Các vectơ riêng tương ứng được tìm thấy trong ví dụ 2 cũng là liên hợp của nhau:

Ví dụ tiếp theo sẽ cung cấp “nền tảng cơ bản” cho tất cả các ma trận thực $2\times 2$ có giá trị riêng là số phức.

Ví dụ 6: Nếu $C=\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}$ , trong đó $a$ và $b$ là các số thực và không đồng thời bằng 0, thì các giá trị riêng của $C$ là $\lambda=a\pm bi$ . Ngoài ra, nếu $r=|\lambda|=\sqrt{a^2+b^2}$ , thì ta có:

$C=r\begin{bmatrix}a/r&-b/r\\b/r&a/r\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}r&0\\0&r\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{bmatrix}$

trong đó $\varphi$ là góc giữa trục $x$ dương và tia đi qua điểm $(a,b)$ . Xem hình 2.

Góc $\varphi$ này được gọi là argumen của $\lambda=a+bi$ .

Như vậy, phép biến đổi $\mathbf{x}\mapsto C\mathbf{x}$ có thể được xem là sự kết hợp giữa một phép quay với góc $\varphi$ và một phép co giãn với hệ số $|\lambda|$ . Xem hình 3.

Hình 3: Phép quay kết hợp với phép co giãn

Cuối cùng, chúng ta đã sẵn sàng để khám phá phép quay ẩn bên trong một ma trận thực có giá trị riêng là số phức.

Ví dụ 7: Xét ma trận $A=\begin{bmatrix}.5&-.6\\.75&1.1\end{bmatrix}$ với giá trị riêng $\lambda=.8-.6i$ và vectơ riêng tương ứng $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}-2-4i\\5\end{bmatrix}$ như trong ví dụ 2. Ngoài ra, xét ma trận thực $P$ $2\times 2$ , được mô tả trong định lý 9:

$P=\begin{bmatrix}\text{Re}\,\mathbf{v}_1&\text{Im}\,\mathbf{v}_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&-4\\5&0\end{bmatrix}$

và

$C=P^{-1}A P=\frac{1}{20}\begin{bmatrix}0&4\\-5&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}.5&-.6\\.75&1.1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2&-4\\5&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}.8&-.6\\.6&.8\end{bmatrix}$

Theo Ví dụ 6, CC là một phép quay thuần túy vì $|\lambda|^2=(.8)^2+(.6)^2=1$ . Từ $C=P^{-1}A P$ , ta có

$A=P C P^{-1}=P\begin{bmatrix}.8&-.6\\.6&.8\end{bmatrix}P^{-1}$

Chính đây là phép quay “ẩn” bên trong $A$ ! Ma trận $P$ thực hiện một phép đổi biến, gọi $\mathbf{x}=P\mathbf{u}$ . Khi đó, tác động của $A$ tương đương với:

Đổi biến từ $\mathbf{x}$ sang $\mathbf{u}$ .
Thực hiện một phép quay.
Trả về hệ tọa độ ban đầu.

Hình 4 minh họa điều này. Phép quay tạo ra một elip như trong hình 1, thay vì một đường tròn, bởi vì hệ tọa độ do các cột của P xác định không phải là hệ vuông góc và không có độ dài đơn vị bằng nhau trên hai trục.

Hình 4: Sự xoay do một giá trị riêng phức gây ra.

Định lý tiếp theo cho thấy rằng các phép tính trong ví dụ 7 có thể được thực hiện cho bất kỳ ma trận thực $2\times 2$ nào có giá trị riêng phức $\lambda$ . Chứng minh dựa vào thực tế rằng nếu các phần tử của $A$ là số thực, thì: $A(\text{Re}\,\mathbf{x})=\text{Re}(A\mathbf{x})$ và $A(\text{Im}\,\mathbf{x})=\text{Im}(A\mathbf{x})$ , và nếu $\mathbf{x}$ là một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng phức, thì $\text{Re}\,\mathbf{x}$ và $\text{Im}\,\mathbf{x}$ là độc lập tuyến tính trong $\mathbb{R}^2$ .

Định lý 9

Cho  là một ma trận thực  có giá trị riêng phức  (với ) và vectơ riêng tương ứng  trong . Khi đó:

 với  và

Hiện tượng trong ví dụ 7 cũng xuất hiện ở các không gian có số chiều cao hơn. Ví dụ, nếu $A$ là một ma trận $3\times 3$ với một giá trị riêng phức, thì tồn tại một mặt phẳng trong $\mathbb{R}^3$ mà trên đó $A$ hoạt động như một phép quay (có thể kết hợp với phép co giãn). Mọi vectơ trong mặt phẳng này sẽ được quay đến một điểm khác cũng nằm trong mặt phẳng đó. Khi đó, ta nói rằng mặt phẳng này là bất biến dưới tác động của $A$ .

Ví dụ 8 Ma trận $A=\begin{bmatrix}.8&-.6&0\\.6&.8&0\\0&0&1.07\\\end{bmatrix}$ có các giá trị riêng $.8\pm.6i$ và $1.07.$ Bất kỳ vectơ $\mathbf{w}_0$ nào nằm trong mặt phẳng $x_1x_2$ (với tọa độ thứ ba bằng 0) sẽ bị ma trận $A$ xoay đến một điểm khác trong cùng mặt phẳng đó. Bất kỳ vectơ $\mathbf{x}_0$ nào không nằm trong mặt phẳng này sẽ có tọa độ $x_3$ của nó nhân với $1.07.$ Các điểm lặp lại của $\mathbf{w}_0=(2,0,0)$ và $\mathbf{x}_0=(2,0,1)$ khi nhân liên tiếp với $A$ được minh họa trong hình 5.

Hình 5: Các lần lặp của hai điểm dưới tác động của ma trận $3\times 3$ có giá trị riêng phức.

Ví dụ 9: Nhiều robot hoạt động bằng cách xoay quanh các khớp, tương tự như cách các ma trận có giá trị riêng phức xoay các điểm trong không gian. Hình 6 minh họa một cánh tay robot được mô phỏng bằng các phép biến đổi tuyến tính, mỗi phép có một cặp giá trị riêng phức. Trong dự án C ở cuối phần này, bạn sẽ được yêu cầu tìm video về các robot trên Internet, trong đó các phép quay đóng vai trò quan trọng trong cách hoạt động của chúng.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 14: Giá trị riêng và vectơ riêng của một ma trận thực trên Cⁿ

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy