Bài giảng 2: Giá trị riêng và Vectơ riêng

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Mặc dù một phép biến đổi $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ có thể di chuyển các vectơ theo nhiều hướng khác nhau, nhưng trong nhiều trường hợp, có những vectơ đặc biệt mà tác động của $A$ lên chúng rất đơn giản.

Ví dụ 1: Cho ma trận $A=\begin{bmatrix}3&-2\\1&0\\\end{bmatrix}$ , vectơ $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$ , và $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ . Hình ảnh của $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ dưới phép nhân với $A$ được minh họa trong hình 1.

Thực tế, ta có $A\mathbf{v}=2\mathbf{v}$ . Điều này có nghĩa là $A$ chỉ làm kéo dãn hoặc phóng đại $\mathbf{v}$ .

Phần này sẽ nghiên cứu các phương trình như:

$A\mathbf{x}=2\mathbf{x}$ hoặc $A\mathbf{x}=-4\mathbf{x}$

trong đó, các vectơ đặc biệt sẽ được biến đổi bởi $A$ thành bội số vô hướng của chính chúng.

Định nghĩa

Một vectơ riêng của ma trận  là một vectơ khác không  sao cho:  với một số vô hướng .

Một số vô hướng  được gọi là giá trị riêng của  nếu tồn tại một nghiệm không tầm thường  của phương trình: ; Vectơ  như vậy được gọi là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng .

Có thể dễ dàng kiểm tra xem một vectơ cho trước có phải là vectơ riêng của một ma trận hay không (xem ví dụ 2). Tương tự, cũng có thể xác định một số vô hướng cho trước có phải là giá trị riêng hay không (xem ví dụ 3).

Ví dụ 2: Cho ma trận: $A=\begin{bmatrix}1&6\\5&2\\\end{bmatrix}$ . Và hai vectơ: $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}6\\-5\end{bmatrix}$ , $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}3\\-2\end{bmatrix}$

Hỏi $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ có phải là vectơ riêng của $A$ không?

Giải:

$A\mathbf{u}=\begin{bmatrix}1&6\\5&2\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}6\\-5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-24\\20\end{bmatrix}=-4\begin{bmatrix}6\\-5\end{bmatrix}=-4\mathbf{u}$

$A\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1&6\\5&2\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-9\\11\end{bmatrix}\neq\lambda\begin{bmatrix}3\\-2\end{bmatrix}$

Do đó, $\mathbf{u}$ là một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng 4, nhưng $\mathbf{v}$ không phải là một vectơ riêng của $A$ , vì $A\mathbf{v}$ không phải là bội số của $\mathbf{v}$ .

Ví dụ 3: Chứng minh rằng 7 là một giá trị riêng của ma trận $A$ trong ví dụ 2 và tìm các vectơ riêng tương ứng.

Giải: Số vô hướng 7 là một giá trị riêng của $A$ nếu và chỉ nếu phương trình:

(1) $\begin{equation*}A\mathbf{x}=7\mathbf{x}\end{equation*}$

có nghiệm khác tầm thường. Điều này tương đương với:

(2) $\begin{equation*}(A-7I)\mathbf{x}=0\end{equation*}$

Để giải phương trình thuần nhất này, lập ma trận.

$A-7I=\begin{bmatrix}1&6\\5&2\\\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}7&0\\0&7\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-6&6\\5&-5\\\end{bmatrix}$

Các cột của $A-7I$ rõ ràng là phụ thuộc tuyến tính, do đó phương trình (2) có nghiệm không tầm thường. Vì vậy, 7 là một giá trị riêng của $A$ .

Để tìm các vectơ riêng tương ứng, sử dụng các phép biến đổi hàng:

$\begin{bmatrix}-6&6&0\\5&-5&0\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}$

Nghiệm tổng quát có dạng $x_2\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ . Mỗi vectơ có dạng này với $x_2\neq 0$ là một vectơ riêng tương ứng với $\lambda=7$ .

Cảnh báo: Mặc dù phép khử hàng được sử dụng trong ví dụ 3 để tìm vectơ riêng, nhưng nó không thể được sử dụng để tìm giá trị riêng. Dạng bậc thang của một ma trận $A$ thường không hiển thị các giá trị riêng của $A$ .

Sự tương đương giữa phương trình (1) và (2) vẫn đúng với mọi $\lambda$ , không chỉ riêng $\lambda=7$ . Do đó, một số vô hướng $\lambda$ là một giá trị riêng của ma trận vuông $A$ cấp $n\times n$ nếu và chỉ nếu phương trình:

(3) $\begin{equation*}(A-\lambda I)\mathbf{x}=0\end{equation*}$

có nghiệm không tầm thường. Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (3) chính là không gian null của ma trận $A-\lambda I$ . Do đó, tập nghiệm này là một không gian con của $\mathbb{R}^n$ và được gọi là không gian riêng của $A$ tương ứng với $\lambda$ . Không gian riêng chứa vectơ không và tất cả các vectơ riêng tương ứng với $\lambda$ .

Ví dụ 3 cho thấy rằng với ma trận $A$ trong ví dụ 2, không gian riêng tương ứng với $\lambda=7$ bao gồm tất cả các bội số của $(1,1)$ , tức là đường thẳng đi qua điểm $(1,1)$ và gốc tọa độ.

Từ ví dụ 2, ta cũng có thể kiểm tra rằng không gian riêng tương ứng với $\lambda=-4$ là đường thẳng đi qua điểm $(6,-5)$ .

Những không gian riêng này được minh họa trong hình 2, cùng với các vectơ riêng $(1,1)$ và $(3/2,-5/4)$ , thể hiện biến đổi hình học của phép biến đổi $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ trên mỗi không gian riêng.

Hình 2: Không gian riêng cho $\lambda=-4$ và $\lambda=7$ .

Ví dụ 4: Cho ma trận $A=\begin{bmatrix}4&-1&6\\2&1&6\\2&-1&8\end{bmatrix}$ . Một giá trị riêng của $A$ là $2$ . Hãy tìm một cơ sở cho không gian riêng tương ứng.

Giải: Ta tính:

$A-2I=\begin{bmatrix}4&-1&6\\2&1&6\\2&-1&8\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-1&6\\2&-1&6\\2&-1&6\\\end{bmatrix}$

Tiếp theo, ta thực hiện phép khử hàng trên ma trận mở rộng của phương trình $(A-2I)\mathbf{x}=0:$

$\begin{bmatrix}2&-1&6&0\\2&-1&6&0\\2&-1&6&0\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}2&-1&6&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}$

Tại điểm này, rõ ràng 2 thực sự là một giá trị riêng của $A$ vì phương trình $(A-2I)\mathbf{x}=0$ có các biến tự do. Nghiệm tổng quát là:

$\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}=x_{2}\begin{bmatrix}1/2\\1\\0\end{bmatrix}+x_{3}\begin{bmatrix}-3\\1\\0\end{bmatrix}$

$x_{2}$ và $x_{3}$ là tự do.

Không gian riêng, được minh họa trong hình 3, là một không gian con hai chiều của $\mathbb{R}^3$ . Một cơ sở là:

$\left\{\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-3\\0\\1\end{bmatrix}\right\}$

Hình 3: $A$ hoạt động như một phép giãn trên không gian riêng.

Câu Trả Lời Hợp Lý: Hãy nhớ rằng, khi bạn tìm được một vectơ riêng tiềm năng $\mathbf{v}$ , bạn có thể dễ dàng kiểm tra đáp án của mình: chỉ cần tính $A\mathbf{v}$ và xem liệu nó có phải là bội số của vv hay không. Ví dụ, để kiểm tra liệu $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ có phải là một vectơ riêng của $A=\begin{bmatrix}1&2\\-1&-2\\\end{bmatrix}$ hay không, ta tính $A\mathbf{v}=\begin{bmatrix}3\\-3\\\end{bmatrix}$ , không phải là bội số của $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ , chứng tỏ rằng $\mathbf{v}$ không phải là một vectơ riêng. Hóa ra chúng ta đã mắc lỗi dấu. Vectơ đúng là $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ vì $A\mathbf{u}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=-1\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=-1\mathbf{u}$ . Do đó, $\mathbf{u}$ là một vectơ riêng hợp lệ của $A$ .

Ghi Chú Số Học

Ví dụ 4 cho thấy một phương pháp tốt để tính tay các vectơ riêng trong những trường hợp đơn giản khi một giá trị riêng đã biết. Sử dụng chương trình ma trận và phép khử hàng để tìm không gian riêng (ứng với một giá trị riêng cụ thể) thường hoạt động tốt, nhưng không phải lúc nào cũng đáng tin cậy. Lỗi làm tròn có thể đôi khi dẫn đến dạng bậc thang giảm với số trụ sai.

Các chương trình máy tính tốt nhất tính xấp xỉ giá trị riêng và vectơ riêng đồng thời, với độ chính xác tùy ý, miễn là ma trận không quá lớn. Kích thước của các ma trận có thể phân tích được tăng lên mỗi năm khi sức mạnh tính toán và phần mềm ngày càng cải thiện.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 2: Giá trị riêng và Vectơ riêng

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy