Bài giảng 12: Giá trị riêng phức

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!

Vì phương trình đặc trưng của một ma trận $n\times n$ liên quan đến một đa thức bậc $n$ , phương trình này luôn có đúng $n$ nghiệm (tính cả bội số), với điều kiện là các nghiệm có thể là số phức. Phần này cho thấy rằng nếu phương trình đặc trưng của một ma trận thực $A$ có một số nghiệm phức, thì những nghiệm này cung cấp thông tin quan trọng về $A$ . Điểm mấu chốt là để $A$ tác động lên không gian $\mathbb{C}^n$ của các bộ $n$ – phần tử số phức.

Sự quan tâm của chúng ta đối với $\mathbb{C}^n$ không xuất phát từ mong muốn “khái quát hóa” các kết quả của các chương trước, mặc dù điều đó thực sự sẽ mở ra những ứng dụng quan trọng mới của đại số tuyến tính. Thay vào đó, nghiên cứu về giá trị riêng phức là điều cần thiết để khám phá thông tin “ẩn” về một số ma trận có các phần tử thực xuất hiện trong nhiều bài toán thực tế. Những bài toán này bao gồm nhiều hệ động lực thực tế liên quan đến chuyển động tuần hoàn, dao động hoặc một dạng quay nào đó trong không gian.

Lý thuyết giá trị riêng – vector riêng của ma trận đã được phát triển cho $\mathbb{R}^n$ cũng áp dụng tương tự cho $\mathbb{C}^n$ . Vì vậy, một số vô hướng phức $\lambda$ thỏa mãn $\det(A-\lambda I)=0$ khi và chỉ khi tồn tại một vector khác không xx trong $\mathbb{C}^n$ sao cho $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ . Khi đó, $\lambda$ được gọi là một giá trị riêng (phức) và $\mathbf{x}$ là một vector riêng (phức) tương ứng với $\lambda$ .

Ví dụ 1: Nếu $A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ , thì phép biến đổi tuyến tính $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ trên $\mathbb{R}^2$ quay mặt phẳng ngược chiều kim đồng hồ một góc 90 độ.

Tác động của $A$ có tính chu kỳ, vì sau bốn lần quay 90 độ, một vectơ sẽ trở về vị trí ban đầu. Rõ ràng, không có vectơ khác không nào được ánh xạ thành một bội của chính nó, nên $A$ không có vectơ riêng trong $\mathbb{R}^2$ và do đó không có giá trị riêng thực.

Thực tế, phương trình đặc trưng của $A$ là: $\lambda^2+1=0$ Các nghiệm duy nhất là số phức: $\lambda=i$ và $\lambda=-i$ . Tuy nhiên, nếu ta cho phép $A$ tác động trên $\mathbb{C}^2$ , thì:

$\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix}=i\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-i\\1\end{bmatrix}=-i\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}$

Như vậy, $i$ và $-i$ là các giá trị riêng, với các vectơ riêng tương ứng là $\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}$ và $\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}$ .

Trọng tâm chính của phần này sẽ là ma trận trong ví dụ tiếp theo.

Ví dụ 2: Cho ma trận $A$ . Tìm các giá trị riêng của $A$ và tìm một cơ sở cho mỗi không gian riêng.

Giải: Phương trình đặc trưng của $A$ là:

$0=\det\begin{bmatrix}.5-\lambda&-.6\\.75&1.1-\lambda\end{bmatrix}=(.5-\lambda)(1.1-\lambda)-(-.6)(.75)=\lambda^2-1.6\lambda+1$

Áp dụng công thức nghiệm bậc hai, ta có $\lambda=\frac{1}{2}[{1.6\pm\sqrt{(-1.6)^2-4(1)}}]=.8\pm.6i$ . Đối với giá trị riêng $\lambda=.8-.6i$ , ta xét hệ phương trình:

$A-(.8-.6i)I=\begin{bmatrix}.5&-.6\\.75&1.1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}.8-.6i&0\\0&.8-.6i\end{bmatrix}$

(1) $\begin{equation*}=\begin{bmatrix}-.3+.6i&-.6\\.75&.3+.6i\end{bmatrix}\end{equation*}$

Phép khử hàng của ma trận mở rộng thông thường khá phức tạp khi thực hiện bằng tay do các phép toán số phức. Tuy nhiên, có một quan sát thú vị giúp đơn giản hóa vấn đề: Vì 0.8−0.6i0.8 – 0.6i là một giá trị riêng, nên hệ phương trình

(2) $\begin{equation*}\begin{matrix}(-.3+.6i)x_1-&.6x_2&=0\\.75x_1+&(.3+.6i)x_2&=0\\\end{matrix}\end{equation*}$

có nghiệm không tầm thường (với $\mathbf{x}_1$ và $\mathbf{x}_2$ có thể là số phức). Do đó, cả hai phương trình trong (2) đều xác định cùng một mối quan hệ giữa $\mathbf{x}_1$ và $\mathbf{x}_2$ , vì vậy có thể sử dụng một trong hai phương trình để biểu diễn một biến theo biến còn lại.

Từ phương trình thứ hai trong (2), ta có:

$\begin{matrix}.75x_1&=(-.3-.6i)x_2\\\qquad x_1&=(-.4-.8i)x_2\\\end{matrix}$

Chọn $x_2=5$ để loại bỏ số thập phân, ta được $x_1=-2-4i$ . Một cơ sở cho không gian riêng ứng với $\lambda=.8-.6i$ là

$\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}-2-4i\\5\end{bmatrix}$

Các phép tính tương tự cho $\lambda=.8+.6i$ cho ta vector riêng

$\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-2+4i\\5\end{bmatrix}$

Để kiểm tra lại kết quả, ta tính

$A\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}.5&-.6\\.75&1.1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2+4i\\5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4+2i\\\:\:\:\:4+3i\end{bmatrix}=(.8+.6i)\mathbf{v}_2$

Điều đáng ngạc nhiên là ma trận $A$ trong ví dụ 2 xác định một phép biến đổi $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ thực chất là một phép quay. Thực tế này trở nên rõ ràng hơn khi vẽ các điểm thích hợp, như minh họa trong hình 1.

Ví dụ 3: Một cách để quan sát tác động của phép nhân ma trận $A$ trong Ví dụ 2 lên các điểm là vẽ một điểm ban đầu tùy ý – chẳng hạn, $\mathbf{x}_0=(2,0)$ – sau đó vẽ các điểm ảnh liên tiếp của nó qua các phép nhân lặp lại với $A$ . Cụ thể, ta vẽ các điểm:

$\begin{matrix}\mathbf{x_{1}}=&A\mathbf{x_{0}}=&\begin{bmatrix}.5&-.6\\.75&1.1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1.0\\1.5\end{bmatrix}\\\\\mathbf{x_{2}}=&A\mathbf{x_{1}}=&\begin{bmatrix}.5&-.6\\.75&1.1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1.0\\1.5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-.4\\2.4\end{bmatrix}\\\\\mathbf{x_{3}}=&A\mathbf{x_{2}}&...\\\end{matrix}$

Hình 1 hiển thị các điểm $\mathbf{x}_0,\dots,\mathbf{x}_8$ dưới dạng các chấm lớn. Các chấm nhỏ thể hiện vị trí của các điểm $\mathbf{x}_9,\dots,\mathbf{x}_{100}$ . Ta có thể thấy rằng dãy điểm này nằm dọc theo một quỹ đạo hình elip.

**Hình 1:** Các lần lặp của điểm $\mathbf{x}_0$ dưới tác động của một ma trận có giá trị riêng phức.

Tuy nhiên, hình 1 không trực tiếp giải thích lý do xảy ra sự quay. Bí mật của sự quay này nằm ở phần thực và phần ảo của một vectơ riêng phức.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 12: Giá trị riêng phức

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy