Bài giảng 4: Phương Trình Đặc Trưng

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Thông tin hữu ích về các giá trị riêng của một ma trận vuông $A$ được mã hóa trong một phương trình vô hướng đặc biệt, gọi là phương trình đặc trưng của $A$ . Một ví dụ đơn giản sẽ dẫn đến trường hợp tổng quát.

Ví dụ 1: Tìm các giá trị riêng của $A=\begin{bmatrix}2&3\\3&-6\\\end{bmatrix}$ .

Giải: Chúng ta cần tìm tất cả các số vô hướng $\lambda$ sao cho phương trình ma trận

$(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$

có nghiệm không tầm thường. Theo định lý ma trận khả nghịch, bài toán này tương đương với việc tìm tất cả $\lambda$ sao cho ma trận $A-\lambda I$ không khả nghịch, với

$A-\lambda I=\begin{bmatrix}2&3\\3&-6\\\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2-\lambda&3\\3&-6-\lambda\\\end{bmatrix}$

Theo định lý 4, ma trận này không khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó bằng 0. Do đó, các giá trị riêng của $A$ là nghiệm của phương trình

$\det(A-\lambda I)=\det\begin{bmatrix}2-\lambda&3\\3&-6-\lambda\\\end{bmatrix}=0$

Nhớ lại rằng

$\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc$

vì vậy

$\begin{matrix}\det(A-\lambda I)=&(2-\lambda)(-6-\lambda)-(3)(-3)\\=&-12+6\lambda-2\lambda\lambda^2-9\\=&\lambda^2+4\lambda-21\\=&(\lambda-3)(\lambda+7)\\\end{matrix}$

Nếu $\det\,(A-\lambda I)=0$ thì $\lambda=3$ hoặc $\lambda=-7$ . Vậy các giá trị riêng của $A$ là $3$ và $-7$ .

Định Thức

Trong ví dụ 1, định thức giúp biến đổi phương trình ma trận $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$ , vốn chứa hai ẩn số $\lambda$ và $\mathbf{x}$ , thành phương trình vô hướng $\lambda^2+4\lambda-21=0$ , chỉ còn một ẩn số $\lambda$ . Ý tưởng này cũng áp dụng cho ma trận $n\times n$ .

Trước khi mở rộng sang các ma trận lớn hơn, hãy nhớ lại rằng ma trận con $A_{ij}$ được tạo ra từ ma trận $A$ bằng cách loại bỏ hàng thứ $i$ và cột thứ $j$ .

Định thức của một ma trận $n\times n$ có thể được tính bằng cách khai triển theo một hàng hoặc một cột bất kỳ.

Khai triển theo hàng thứ $i$ :

$\det(A)=(-1)^{i+1}a_{i1}\det(A_{i1})+(-1)^{i+2}a_{i2}\det(A_{i2})+\dots+(-1)^{i+n}a_{in}\det(A_{in})$

Khai triển theo cột thứ $j$ :

$\det(A)=(-1)^{i+1}a_{i1}\det(A_{i1})+(-1)^{i+2}a_{i2}\det(A_{i2})+\dots+(-1)^{i+n}a_{in}\det(A_{in})$

Ví dụ 2: Tính định thức của ma trận

$A=\begin{bmatrix}2&3&1\\4&0&-1\\0&2&1\end{bmatrix}$

Giải: Ta có thể chọn bất kỳ hàng hoặc cột nào để khai triển định thức. Ở đây, khai triển theo cột đầu tiên của $A$ ta được:

$\begin{matrix}\det(A)=&a_{11}\det A_{11}-a_{21}\det A_{21}+a_{31}\det A_{31}\\\\=&2\det\begin{bmatrix}0&-1\\2&1\\\end{bmatrix}-4\det\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\\end{bmatrix}+0\det\begin{bmatrix}3&1\\0&-1\\\end{bmatrix}\\=&2(0-(-2))-4(3-2)+0(-3-0)=0\\\end{matrix}$

Định lý 3: Các tính chất của định thức

Cho  và  là hai ma trận vuông :

a.  khả nghịch khi và chỉ khi .
b. .
c. .
d. Nếu  là ma trận tam giác, thì định thức của  bằng tích các phần tử trên đường chéo chính của nó:.
e. Tác động của phép biến đổi hàng đến định thức:
• Thay thế một hàng bằng tổng của nó với một hàng khác không làm thay đổi định thức.
• Hoán đổi hai hàng làm đổi dấu định thức.
• Nhân một hàng với một số  làm định thức nhân với .

Ta nhớ rằng $A$ khả nghịch khi và chỉ khi phương trình $A\mathbf{x}=0$ chỉ có nghiệm tầm thường $\mathbf{x}=0$ . Hơn nữa, $0$ là giá trị riêng của $A$ khi và chỉ khi tồn tại một vector khác $0$ sao cho $A\mathbf{x}=0\mathbf{x}=0$ , hay tương đương với: $0=\det(A-0I)=\det(A)$ .

Vậy, $A$ khả nghịch khi và chỉ khi $0$ không phải là giá trị riêng của $A$ .

Định lý Mở rộng của Định lý Ma trận Khả nghịch

Cho  là ma trận vuông . Khi đó,  khả nghịch khi và chỉ khi:
r. Số  không phải là một giá trị riêng của .

Phương trình đặc trưng

Định lý 3(a) cho thấy cách xác định khi nào một ma trận có dạng $A-\lambda I$ không khả nghịch. Phương trình vô hướng $\det(A-\lambda I)=0$ được gọi là phương trình đặc trưng của $A$ . Lập luận trong ví dụ 1 xác nhận kết luận sau:

Một số vô hướng $\lambda$ là giá trị riêng của ma trận vuông $n\times n\,A$ nếu và chỉ nếu $\lambda$ thỏa mãn phương trình đặc trưng:

$\det(A-\lambda I)=0$

Ví dụ 3: Tìm phương trình đặc trưng của

$A=\begin{bmatrix}5&-2&6&-1\\0&3&-8&0\\0&0&5&4\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}$

Giải: Lập ma trận $A-\lambda I$ và áp dụng định lý 3(d):

$\det(A-\lambda I)=\det\begin{bmatrix}5-\lambda&-2&6&-1\\0&3-\lambda&-8&0\\0&0&5-\lambda&4\\0&0&0&1-\lambda\\\end{bmatrix}=(5-\lambda)(3-\lambda)(5-\lambda)(1-\lambda)$

Phương trình đặc trưng là

$(5-\lambda)^2(3-\lambda)(1-\lambda)=0$

hay có thể viết lại dưới dạng

$(\lambda-5)^2(\lambda-3)(\lambda-1)=0$

Khai triển biểu thức

$\lambda^4-14\lambda^3+68\lambda^2-130\lambda+75=0$

Câu Trả Lời Hợp Lý

Nếu bạn muốn kiểm tra xem $\lambda$ có phải là một giá trị riêng của $A$ hay không, hãy đưa $A-\lambda I$ về dạng bậc thang bằng phép khử Gauss. Nếu ma trận thu được có một phần tử cơ sở (pivot) trong mỗi cột, thì có điều gì đó không đúng – số $\lambda$ không phải là một giá trị riêng của $A$ . Xét lại ví dụ 3, ta thấy rằng $A-5I,\:A-3I$ và $A-I$ đều có ít nhất một cột không chứa phần tử cơ sở. Tuy nhiên, nếu chọn $\lambda$ là một số khác 5, 3 hoặc 1, thì ma trận $A-\lambda I$ sẽ có phần tử cơ sở trong mỗi cột.

Trong ví dụ 1 và ví dụ 3, $\det\,(A-\lambda I)$ là một đa thức theo $\lambda$ . Có thể chứng minh rằng nếu $A$ là một ma trận $n\times n$ , thì $\det(A-\lambda I)$ là một đa thức bậc $n$ , được gọi là đa thức đặc trưng của $A$ .

Trong ví dụ 3, giá trị riêng 5 có bội số đại số bằng 2, vì $(\lambda-5)$ xuất hiện hai lần trong đa thức đặc trưng. Nhìn chung, bội số đại số của một giá trị riêng $\lambda$ là số lần nó xuất hiện như một nghiệm của phương trình đặc trưng.

Ví dụ 4: Đa thức đặc trưng của một ma trận $6\times 6$ là $\lambda^6-4\lambda^5-12\lambda^4$ . Tìm các giá trị riêng và bội số của chúng.

Giải: Phân tích đa thức đặc trưng:

$\lambda^6-4\lambda^5-12\lambda^4=\lambda^4(\lambda^2-4\lambda-12)=\lambda^4(\lambda-6)(\lambda+2)$

Vậy, các giá trị riêng của ma trận là:

$\lambda=0$ (bội số 4)
$\lambda=6$ (bội số 1)
$\lambda=-2$ (bội số 1)

Ta cũng có thể liệt kê các giá trị riêng như: 0, 0, 0, 0, 6, và -2, thể hiện rằng mỗi giá trị riêng xuất hiện với bội số tương ứng của nó.

Vì phương trình đặc trưng của một ma trận $n\times n$ là một đa thức bậc $n$ , nó có đúng $n$ nghiệm (tính cả bội số), miễn là ta xét các nghiệm phức. Các nghiệm phức như vậy, gọi là giá trị riêng phức, sẽ được thảo luận trong bài tiếp. Cho đến lúc đó, ta chỉ xét các giá trị riêng thực, và các số vô hướng sẽ vẫn là số thực.

Mặc dù phương trình đặc trưng rất quan trọng về mặt lý thuyết, nhưng trên thực tế, các giá trị riêng của ma trận lớn hơn $2\times 2$ nên được tính bằng máy tính, trừ khi ma trận có dạng tam giác hoặc có các tính chất đặc biệt khác. Mặc dù đa thức đặc trưng của một ma trận $3\times 3$ có thể dễ dàng tính bằng tay, nhưng việc phân tích nó ra nhân tử có thể phức tạp, trừ khi ma trận được chọn một cách có chủ đích.

Tương đương

Định lý tiếp theo minh họa một ứng dụng của đa thức đặc trưng và cung cấp nền tảng cho một số phương pháp lặp để xấp xỉ giá trị riêng.

Nếu $A$ và $B$ là hai ma trận $n\times n$ , thì $A$ tương đương với $B$ ( $A$ is similar to $B$ ) nếu tồn tại một ma trận khả nghịch $P$ sao cho $P^{-1}A P=B$ , hoặc tương đương, $A=P B P^{-1}$ . Gọi $Q=P^{-1}$ , ta cũng có thể viết $Q^{-1}B Q=A$ . Điều này có nghĩa là $B$ cũng tương đương với $A$ , và ta chỉ cần nói rằng $A$ và $B$ là tương đương. Phép biến đổi $A$ thành $P^{-1}A P$ được gọi là biến đổi tương đương.

Định lý 4

Nếu hai ma trận  là tương đương, thì chúng có cùng đa thức đặc trưng, và do đó có cùng giá trị riêng (bao gồm cả bội số của chúng).

Chứng minh: Giả sử $A$ và $B$ là hai ma trận tương đương, nghĩa là tồn tại một ma trận khả nghịch $P$ sao cho: $B=P^{-1}A P$ . Khi đó:

$B-\lambda I=P^{-1}A P-\lambda I=P^{-1}(A P-\lambda P)=P^{-1}(A-\lambda I)P$

Sử dụng tính chất nhân định thức từ định lý 3(b), ta có:

$\det(B-\lambda I)=\det[P^{-1}(A-\lambda I)P]$

(1) $\begin{equation*}=\det(P^{-1})\cdot\det(A-\lambda I)\cdot\det(P)\end{equation*}$

Vì $\det(P^{-1})\cdot\det(P)=\det(P^{-1}P)=\det(I)=1$ , ta suy ra từ phương trình (1): $\det(B-\lambda I)=\det(A-\lambda I)$ .

Cảnh báo:

Hai ma trận $\begin{bmatrix}2&1\\0&2\\\end{bmatrix}$ và $\begin{bmatrix}2&0\\0&2\\\end{bmatrix}$ không tương đương, mặc dù chúng có cùng giá trị riêng.
Tính tương đương của ma trận không đồng nghĩa với tương đương dòng. Nếu $A$ tương đương dòng với $B$ , thì tồn tại ma trận khả nghịch $E$ sao cho: $B=E A$ . Tuy nhiên, các phép biến đổi dòng trên ma trận thường làm thay đổi giá trị riêng.