Bài giảng 11: Biến đổi tuyến tính trên $\mathbb{R}^n$

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Trong một bài toán ứng dụng liên quan đến $\mathbb{R}^n$ , một phép biến đổi tuyến tính $T$ thường xuất hiện đầu tiên dưới dạng một phép biến đổi ma trận, $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ . Nếu $A$ là ma trận có thể chéo hóa, thì tồn tại một cơ sở $\ss$ của $\mathbb{R}^n$ bao gồm các vectơ riêng của $A$ . Định lý 8 dưới đây chỉ ra rằng, trong trường hợp này, ma trận $\ss$ -ma trận của $T$ là ma trận chéo. Chéo hóa $A$ thực chất là tìm một dạng biểu diễn ma trận chéo của phép biến đổi $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ .

Định lý 8 Biểu diễn ma trận chéo

Giả sử , trong đó  là ma trận chéo kích thước . Nếu  là cơ sở của  được tạo thành từ các cột của , thì  chính là ma trận -ma trận của phép biến đổi .

Chứng minh: Gọi các cột của $P$ là $\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n$ , do đó ta có cơ sở $\ss=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\}$ và $P=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\}$ . Trong trường hợp này, $P$ là ma trận chuyển tọa độ $P_{\ss}$ đã được thảo luận, trong đó $P[\mathbf{x}]_{\ss}=\mathbf{x}$ và $[\mathbf{x}]_B=P^{-1}\mathbf{x}$ .

Nếu $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ với $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ , thì

$[T]_{\ss}=\begin{bmatrix}[T(\mathbf{b}_{1})]_{\ss}&\cdots&[T(\mathbf{b}_{n})]_{\ss}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}[A\mathbf{b}_{1}]_{\ss}&\cdots&[A\mathbf{b}_{n}]_{\ss}\\\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}P^{-1}A\mathbf{b}_{1}&\cdots&P^{-1}A\mathbf{b}_{n}\\\end{bmatrix}=P^{-1}A\begin{bmatrix}\mathbf{b}_{1}&\cdots&\mathbf{b}_{n}\\\end{bmatrix}=P^{-1}A P$

Vì $A=P D P^{-1}$ , nên ta có $[T]_B=P^{-1}A P=D.$

Ví dụ 4: Xét phép biến đổi tuyến tính $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ được xác định bởi $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ , với $A=\begin{bmatrix}7&2\\-4&1\end{bmatrix}$ . Tìm một cơ sở $\ss$ cho $\mathbb{R}^2$ sao cho ma trận $\ss$ – ma trận của $T$ là một ma trận chéo.

Giải: Từ ví dụ 2, ta biết rằng $A=P D P^{-1}$ trong đó

$P=\begin{bmatrix}1&1\\-1&-2\end{bmatrix},\quad D=\begin{bmatrix}5&0\\0&3\end{bmatrix}$

Các cột của $P$ , gọi là $\mathbf{b}_1$ và $\mathbf{b}_2$ , là các vectơ riêng của $A$ . Theo Định lý 8, $D$ chính là ma trận $\ss$ – ma trận của $T$ khi ta chọn $\ss=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2\}$ . Hai phép biến đổi $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ và $\mathbf{u}\mapsto D\mathbf{u}$ thực chất mô tả cùng một phép biến đổi tuyến tính, nhưng dưới hai hệ cơ sở khác nhau.

Sự Tương Tự Giữa Các Biểu Diễn Ma Trận

Chứng minh của định lý 8 không sử dụng thông tin rằng $D$ là một ma trận chéo. Do đó, nếu $A$ đồng dạng với một ma trận $C$ , tức là $A=P C P^{-1}$ thì $C$ chính là ma trận $\ss$ – ma trận của phép biến đổi $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ khi cơ sở $\ss$ được tạo từ các cột của $P$ . Phép phân tích $A=P C P^{-1}$ được minh họa trong hình 4.

Hình 4: Sự tương đương của hai biểu diễn ma trận $A=P C P^{-1$ .

Ngược lại, nếu một phép biến đổi tuyến tính $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ được định nghĩa bởi $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ , và nếu $\ss$ là một cơ sở bất kỳ của $\mathbb{R}^n$ , thì $\ss$ – ma trận của $T$ sẽ đồng dạng với $A$ .

Thật vậy, các phép tính trong chứng minh của định lý 8 cho thấy rằng nếu $P$ là ma trận có các cột là các vectơ trong $\ss$ , thì $[T]_=P^{-1}A P$ . Điều này nhấn mạnh mối liên hệ quan trọng giữa ma trận của một phép biến đổi tuyến tính và các ma trận đồng dạng.

Tập hợp tất cả các ma trận đồng dạng với ma trận $A$ chính là tập hợp tất cả các biểu diễn ma trận của phép biến đổi $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ .

Ví dụ 5: Cho ma trận: $A=\begin{bmatrix}4&-9\\4&-8\end{bmatrix}$ và các vectơ: $\mathbf{b}_1=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}$ , $\mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ . Đa thức đặc trưng của $A$ là $(\lambda+2)^2$ , nhưng không gian riêng ứng với giá trị riêng $-2$ chỉ có một chiều, do đó $A$ không khả quy (không chéo hóa được). Tuy nhiên, cơ sở $\ss=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2\}$ có tính chất giúp ma trận $\ss$ – ma trận của phép biến đổi $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ trở thành một ma trận tam giác, được gọi là dạng Jordan của $A$ . Hãy tìm ma trận $\ss$ này.

Giải: Nếu đặt $P=[\mathbf{b}_1\quad\mathbf{b}_2]$ , thì $\ss$ – ma trận chính là $P^{-1}A P$ . Ta tính:

$A P=\begin{bmatrix}4&-9\\4&-8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&2\\2&1\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-6&-1\\-4&0\\\end{bmatrix}$

$P^{-1}A P=\begin{bmatrix}-1&2\\2&-3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-6&-1\\-4&0\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&1\\0&-2\\\end{bmatrix}$

Lưu ý rằng giá trị riêng của $A$ nằm trên đường chéo chính.

Ghi chú số học

Một cách hiệu quả để tính $\ss$ – ma trận $P^{-1}A P$ là tính $AP$ trước, sau đó giảm hạng hàng của ma trận mở rộng $[P\quad AP]$ thành $[I\quad P^{-1}AP]$ . Việc tính riêng $P^{-1}$ là không cần thiết.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 11: Biến đổi tuyến tính trên

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy

Bài giảng 11: Biến đổi tuyến tính trên $\mathbb{R}^n$