Bài giảng 3: Giá trị riêng và Vectơ riêng (tiếp theo)

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Định lý sau đây mô tả một trong số ít các trường hợp đặc biệt mà giá trị riêng có thể được tìm chính xác. Việc tính toán giá trị riêng cũng sẽ được thảo luận trong bài tiếp.

Định lý 1: 
Các giá trị riêng của một ma trận tam giác là các phần tử trên đường chéo chính của nó.

Chứng minh: Để đơn giản, hãy xét trường hợp ma trận $3\times 3$ . Nếu $A$ là ma trận tam giác trên, thì $A-\lambda I$ có dạng:

Một số vô hướng $\lambda$ là một giá trị riêng của $A$ khi và chỉ khi phương trình $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$ có nghiệm không tầm thường, tức là khi phương trình này có một biến tự do. Do các phần tử bằng 0 trong $A-\lambda I$ , ta dễ dàng thấy rằng phương trình $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$ có một biến tự do khi và chỉ khi ít nhất một phần tử trên đường chéo chính của $A-\lambda I=0$ . Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\lambda$ bằng một trong các phần tử $a_{11},a_{22},a_{33}$ của $A$ .

Ví dụ 5: Cho ma trận $A=\begin{bmatrix}3&6&-8\\0&0&6\\0&0&2\\\end{bmatrix}$ và $B=\begin{bmatrix}4&0&0\\-2&1&0\\5&3&4\\\end{bmatrix}$ . Các giá trị riêng của $A$ là 3, 0 và 2. Các giá trị riêng của $B$ là 4 và 1.

Điều đó có ý nghĩa gì khi một ma trận $A$ có giá trị riêng bằng 0, như trong ví dụ 5? Điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình

(4) $\begin{equation*}A\mathbf{x}=0\mathbf{x}\end{equation*}$

có nghiệm không tầm thường. Nhưng phương trình trên tương đương với $A\mathbf{x}=0$ , phương trình này có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi $A$ không khả nghịch.

Do đó, 0 là một giá trị riêng của $A$ khi và chỉ khi $A$ không khả nghịch.

Định lý quan trọng sau đây sẽ được sử dụng sau này. Chứng minh của nó minh họa một phép tính điển hình với vectơ riêng. Một cách để chứng minh phát biểu “Nếu $P$ thì $Q$ ” là chỉ ra rằng $P$ cùng với phủ định của $Q$ dẫn đến mâu thuẫn. Chiến lược này sẽ được sử dụng trong chứng minh của định lý.

Định lý 2

Nếu  là các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng phân biệt  của một ma trận , thì tập hợp  là độc lập tuyến tính.

Chứng minh: Giả sử tập $\mathbf{\{v_1,\dots,v_r\}}$ phụ thuộc tuyến tính. Vì $\mathbf{v}_1\neq 0$ , theo định lý 7, một trong các vectơ trong tập hợp phải là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ trước đó.

Gọi $p$ là chỉ số nhỏ nhất sao cho $\mathbf{v}_{p+1}$ là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ trước đó. Khi đó, tồn tại các số vô hướng $c_1,\dots,c_p$ sao cho:

(5) $\begin{equation*}c_1\mathbf{v}_1+\dots+c_p\mathbf{v}_p=\mathbf{v}_{p+1}\end{equation*}$

Nhân cả hai vế của (5) với $A$ và sử dụng tính chất $A\mathbf{v}_k=\lambda_k\mathbf{v}_k$ cho mỗi $k$ , ta có:

$c_1 A\mathbf{v}_1+\dots+c_p A\mathbf{v}_p=A\mathbf{v}_{p+1}$

(6) $\begin{equation*}c_1\lambda_1\mathbf{v}_1+\dots+c_p\lambda_p\mathbf{v}_p=\lambda_{p+1}\mathbf{v}_{p+1}\end{equation*}$

Nhân cả hai vế của (5) với $\lambda_{p+1}$ và trừ đi phương trình (6), ta thu được:

(7) $\begin{equation*}c_1(\lambda_1-\lambda_{p+1})\mathbf{v}_1+\dots+c_p(\lambda_p-\lambda_{p+1})\mathbf{v}_p=0\end{equation*}$

Vì tập $\{\mathbf{v_1,\dots,v_p}\}$ độc lập tuyến tính, nên tất cả các hệ số trong (7) đều bằng 0. Đồng thời, do các giá trị riêng $\lambda_i$ khác nhau, nên $\lambda_i-\lambda_{p+1}\neq 0$ với mọi $i=1,\dots,p$ .

Do đó, $c_i=0$ với mọi $i=1,\dots,p$ . Nhưng khi đó, từ phương trình (5) ta có $\mathbf{v}_{p+1}=0$ , điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng $\mathbf{v}_{p+1}$ là một vectơ riêng (không thể là vectơ không).

Vậy, tập hợp $\mathbf{\{v_1,\dots,v_r\}}$ không thể phụ thuộc tuyến tính, tức là nó phải độc lập tuyến tính.

Vectơ Riêng và Phương Trình Sai Phân

Phần này kết thúc bằng cách chỉ ra cách xây dựng nghiệm của phương trình sai phân bậc nhất được đề cập trong ví dụ mở đầu của chương:

(8) $\begin{equation*}\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k,\quad(k=0,1,2,\dots)\end{equation*}$

Nếu $A$ là ma trận $n\times n$ , thì phương trình (8) mô tả đệ quy một dãy $\{{\mathbf{x}_k\}\}\in\mathbb{R}^n$ . Một nghiệm của (8) là một công thức mô tả rõ ràng dãy $\{\mathbf{x}_k\}$ sao cho mỗi $\{\mathbf{x}_k\}$ không phụ thuộc trực tiếp vào $A$ hay các số hạng trước đó trong dãy, ngoại trừ số hạng ban đầu $\{\mathbf{x}_0\}$ .